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1、高中数学复习系列-不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10. 若，则或； 变式20. 若，则 ； 变式30.（三角形不等式）设为任意实数，则： 3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,)，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若时，约定，1,2,).变式10. 设
2、 则： .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设 则：. 当且仅当时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数满足， . 试求的最值 例2 在实数集内 解方程 例3 设是三角形内的一点，是到三边的距离，是外接圆 的半径，证明： 例4 (证明恒等式) 已知 求证：。例5 (证明不等式)设 求证:【同步训练】 1.已知，求证： 2.已知是不全相等的正数，求证： 3.已知. 4.设 求
3、证： 5.已知实数满足, 求的取值范围. 6.已知 且 求证： 7.已知正数满足 证明 8.若n是不小于2的正整数，试证：。 参考答案: 一般形式的柯西不等式： 设为大于1的自然数，(1,2,)，则：， 其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,). 等号成立当且仅当 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。例1 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 例2解：由柯西不等式，得 又. 即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号
4、成立的条件，得它与联立，可得 例3证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。例4 证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 。 例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：证明：为了运用柯西不等式，我们将写成于是 即 故我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习 1证： 2、 3 4、 5 6 7证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故9、证明：证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是： 又由柯西不等式有 9 / 9