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1、-北师大版八年级下册数学第一章证明(二)知识点及习题-第 9 页1等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)用符号语言表示为：如图11所示，在ABC中，ABAC，BC定理的证明： 取BC的中点D，连接AD ABDACD(SSS)BC(全等三角形的对应角相等)定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等拓展 等腰三角形还具有其他性质(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a(4)等腰三角形的三角
2、关系：设顶角为A，底角为B，C，则A180BC1802B1802C知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)(1)用符号语言表示为：如图13所示，在ABC中，ABAC，12，ADBCBDDC；在ABC中，ABAC，ADBC，12，BDDC；在ABC中，ABAC，BDDC，12，ADBC(2)推论1的证明在ABC中，ABAC，12，ADAD，ABDACD(SAS)BDDC，ADBADC90ADBC在ABC中，ADBC，ADBADC90ABAC，BC又ADAD，RtADBRtADC(AAS)12，BDCD在ABC中，AB
3、AC，ADAD，BDCD，ABDACD(SSS)12，ADBADC90，ADBC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60(1)用符号语言表示为：如图14所示，在ABC中，ABBCAC，ABC60(2)推论2的证明：ABAC，BCABBC，ACABC又A+B+C180，即3A180，ABC60知识点3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)用符号语言表示为：如图16所示，在ABC中，BC，ABAC判定定理的证明：如图16所示过A作ADBC于D，则ADBADC90BC，ADAD，
4、ABDACD(AAS)，ABAC判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等拓展 如图16所示，在ABC中，(1)如果ADBC，12，那么ABAC；(2)如果ADBC，BDDC，那么ABAC；(3)如果12，BDDC，那么ABAC知识点4 等腰三角形的判定定理的推论推论1(1)推论1的内容：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18所示，在ABC中，ABAC，A60(或B60或C60)，ABACBC(3)推论1的证明：在ABC中，ABAC，BC又A60，BC60ABACBC(或B60，A1802B60ABACBC或C60，A1802C60ABACBC)推论2(1)推
5、论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18所示，在ABC中，ABC，ABACBC(3)推论2的证明：在ABC中，AB，BCAC(等角对等边)又BC，ABAC(等角对等边)ABACBC(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60；(3)根据推论2，证明三个角都相等推论3(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半(2)用符号语言表示为：如图19所示，在RtABC中
6、，C90，A30，BCAB (3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍知识点5 反证法先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是： (1)假设命题不成立； (2)从假设出发推导出矛盾； (3)否定假设，从而肯定命题的结论 规律方法小结 1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习3用反证法进行证明时
7、，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况探究交流 想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图12所示.ABDACD(SAS).BC(全等三角形的对应角相等)课堂检测1、如图110所示，在ABC中，ABAC，ADAC，AEAB求证BDCE2、如图112所示，已知点D，E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE求证BDCE3、如图113所示，已知CAE是ABC的一个外角，12，ADBC，求证ABC是等腰三角形4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知
8、等腰三角形ABC的A等于30，求其余两角同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30和120”王华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，ABC的高为h，若点P在边BC上，如图117(1)所示，此时h30，可得结论：h1+h2+h3h请直接应用上述信息解决下列问题：点P在ABC内，如图117(2)所示点P在ABC外，如图117(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h
9、之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明体验中考1、已知等腰三角形ABC的周长为10若设腰长为x，则x的取值范围是 2、如图120所示，在ABC和DEF中，ABDE，BECF，B1求证ACDF(要求：写出证明过程中的重要依据)2直角三角形勾股定理：a2+b2c2（a，b为直角边长，c为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）直角三角形知识概览图知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2a2+b2(c为斜边长)勾股定理的作用(1)已知直
10、角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系(3)用于证明平方关系的问题(4)利用勾股定理作出长为的线段勾股定理的各种表达形式在RtABC中，C90，A，B，C的对边长分别为a，b，c，则a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c，a，b勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先确定最大边(如c)(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系若c2a2+b2，则ABC是直角
11、三角形；若c2a2+b2，则ABC不是直角三角形勾股数(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数或勾股弦数(2)勾股数必须是正整数如3，4，5；5，12，13等拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题拓展 每个命题都有逆命题原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、
12、假；假、真如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理拓展 每个命题都有逆命题但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示定理的作用：判定两个直角三角形全等定理的证明：如图130所示，已知RtABC，RtABC，CC90，ABAB，ACAC，求证RtABCRtABC证明：在ABC和ABC中，CC90， BC，BC. ABAB，ACAC，BCBC RtABCRtABC(SSS)知识拓展 “H
13、L”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等课堂检测1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假2、如图131所示，在RtABC中，ACB90，AB50，BC30，CDAB于点D，求CD的长3、在正方形ABCD中，如图132所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且ECBC，求证EFA904、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得MAD30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得MBD=45，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到01海里，1732)体验中考1、如图1-41所示，在ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度2、如图145所示，在直角梯形ABCD中ADBC，ABC90，DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC （1）求证BGFG； （2）若ADDC2，求AB的长