《2022年北师大版八年级下册数学第一章《证明》知识点及习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北师大版八年级下册数学第一章《证明》知识点及习题.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1 等腰三角形学问点 1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 简述为等边对等角 用符号语言表示为：如图 11 所示,在 ABC 中, ABAC, B C定理的证明：取 BC 的中点 D,连接 ADAB AC 已知 ,BD CD 中点定 义 , ABD ACDSSSAD AD 公共 边 , B C全等三角形的对应角相等 定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等拓展 等腰三角形仍具有其他性质1等腰直角三角形的两个底角相等,都等于 45 2等腰三角形的底角只能是锐角,不能是钝角或直角,但顶角可以
2、是锐角、钝角或直角3等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,就b a24等腰三角形的三角关系：设顶角为180 2CA,底角为 B, C,就 A 180 B C180 2B学问点 2 等腰三角形的性质定理的推论推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合简称“ 三线合一”1用符号语言表示为：如图13 所示,在 ABC 中, ABAC, 1 2, ADBCBDDC ；在 ABC 中, ABAC,ADBC, 1 2,BDDC ；在 ABC 中, ABAC,BDDC , 1 2, ADBC2推论 1 的证明在 ABC 中, ABAC, 1 2,AD AD, ABD ACDS
3、AS BD DC, ADB ADC 90 AD BC在 ABC 中, ADBC, ADB ADC 90 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点ABAC, B C又 ADAD, Rt ADB Rt ADC AAS 1 2, BDCD在 ABC 中, ABAC,ADAD, BDCD , ABD ACDSSS 1 2, ADB ADC 90 , ADBC. 3推论 1 的作用：证明角相等、线段相等或垂直 . 推论 2：等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于 60 1用符号语言表示为：如图 14 所示,
4、在 ABC 中, AB BCAC, A B C60 2推论 2 的证明：ABAC, B CABBC, A C A B C又 A+B+C180 ,即 3A180 , A B C 60 学问点 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形简述为等角对等边用符号语言表示为：如图16 所示,在ABC 中, B C, AB AC 判定定理的证明：如图 16 所示过 A 作 ADBC 于 D,就 ADB ADC 90 B C,AD AD, ABD ACD AAS ,ABAC判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等名师归纳总结 拓展如图 16 所示,在ABC 中,第 2
5、页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1假如 ADBC, 1 2,那么 ABAC；2假如 ADBC,BDDC,那么 AB AC；3假如 1 2,BDDC,那么 AB AC学问点 4 等腰三角形的判定定理的推论推论 11推论 1 的内容：有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形2用符号语言表示为： 如图 18 所示,在 ABC 中,ABAC,A60 或 B60 或 C60 ,ABAC BC3推论 1 的证明：在 ABC 中, AB AC, B C又 A60 , B C0 1802A 60ABACBC或 B60 , A18
6、0 2B 60 ABACBC或 C60 , A180 2C60 AB ACBC 推论 21推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形2用符号语言表示为：如图18 所示,在ABC 中, A B C, ABAC BC3推论 2 的证明：在 ABC 中, A B, BCAC等角对等边 又 B C, ABAC等角对等边 ABACBC4推论 1 和推论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：1依据等边三角形的定义,证明三条边相等；2依据推论1,证明两条边相等,有一个角是60 ；3依据推论2,证明三个角都相等推论 3名师归纳总结 1推论 3 的内
7、容：在直角三角形中,假如一个锐角等于30；,那么它所对的直角边等于斜边的一半第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2用符号语言表示为：如图名师总结优秀学问点1 AB219 所示,在 Rt ABC 中, C 90 , A30 , BC3推论 3 的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或 2 倍学问点 5 反证法 先假设命题的结论不成立,然后从假设动身,推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相冲突的结果,从而否定假设,证明命题的结论肯定成立,这种证明方法称为反证法拓展 反证法是一种常用的间接证明方法,用反证法的一般步骤是：1假设命题不成
8、立；2从假设动身推导出冲突；3否定假设,从而确定命题的结论规律方法小结 1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中,都是通过构造全等三角形,转化为 全等得以证明的2类比思想：采纳类比思想,把等腰三角形的性质和判定对比着学习3用反证法进行证明时,留意推理的规范性和规律的严密性,不能忽视任何一种可能的情形探究沟通 想一想：仍有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析有,作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD,如图 12 所示 . ABAC 已知,12 角平分线定义,ADAD公共边, ABD ACDSAS. B C全等三角形的对应角相等 课堂检测名师归纳总结 1、如图 1 10 所示,在
9、ABC 中, ABAC, AD2AC,AE2AB求证 BDCE第 4 页,共 10 页33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、如图 1 12 所示,已知点 D,E 在 ABC 的边 BC 上, ABAC, ADAE求证 BDCE3、如图 113 所示,已知 CAE 是 ABC 的一个外角,求证 ABC 是等腰三角形4、下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,回答疑题1 2,AD BC,学习等腰三角形的有关内容后,张老师请同学们沟通争论这样一个问题：已知等腰三角形 ABC 的 A等于 30 ,求其余两角同学们经过片刻的摸索与沟通后,李
10、明同学举手说：“ 其余两角是30 和 120 ” 王华同学说： “ 其余两角是 75 和 75 ” 仍有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在课堂上,你的看法如何 .为什么 . 5、已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到 ABC 三边 AB,AC,BC 的距离分别是 h1,h2,h3, ABC的高为 h,如点 P 在边 BC 上,如图 1171所示,此时 请直接应用上述信息解决以下问题：h30,可得结论： h1+h2+h3h点 P 在 ABC 内,如图 1172 所示点 P 在 ABC 外,如图 1173所示,这两种情形时,上述结论是否仍成立 .如成立,请给出证明；如不成立,h1,h2
11、,h3 与 h 之间又有怎样的关系.请写出你的猜想,不需证明名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点体验中考1、已知等腰三角形 ABC 的周长为 10如设腰长为 x,就 x 的取值范畴是2、如图 120 所示,在ABC 和 DEF 中, ABDE,BECF, B 1求证 ACDF 要求：写出证明过程中的重要依据 2 直角三角形学问概览图勾股定理： a2+b2c 2（a,b 为直角边长, c 为斜边长）那么这勾股定理的逆定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,直角三角形 个三角形是直角三角形互逆命
12、题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）学问点 1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,即 c 2a 2+b 2c 为斜边长 勾股定理的作用1已知直角三角形的两边求第三边2已知直角三角形的一条边,求另外两条边的数量关系3用于证明平方关系的问题4利用勾股定理作出长为 n 的线段勾股定理的各种表达形式名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点在 Rt ABC 中, C90 , A, B,C 的对边长分别为 a,b,c,就 a 2c 2b 2,b 2c 2a
13、2,c 2a 2+b 2,ca 2 b 2,ac 2 b 2,bc 2 a 2勾股定理的逆定理： 假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定1第一确定最大边 如 c2验证 c 2 与 a 2+b 2 是否具有相等关系如 c 2a 2+b 2,就 ABC 是直角三角形；如 c 2 a 2+b 2,就 ABC 不是直角三角形勾股数1能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数或勾股弦数2勾股数必需是正整数如3,4,5；5,12,13
14、 等拓展 应用勾股定理时, 必需是在同始终角三角形中； 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时,肯定是最长边所对的角是直角,其他两边所对的角是锐角学问点 2 互逆命题与互逆定理在两个命题中, 假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题拓展每个命题都有逆命题 原命题是真命题, 而它的逆命题不肯定是真命题原命题和逆命题的真假性一般有四种情形：真、假；真、真；假、假；假、真名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点假如一个定理
15、的逆命题经过证明是真命题理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理那么它也是一个定理, 这两个定理称为互逆定拓展每个命题都有逆命题但不是全部的定理都有逆定理. 学问点 3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等这肯定理可以简洁地用“ 斜边、直角边” 或“HL” 表示定理的作用：判定两个直角三角形全等定理的证明：如图 130 所示,已知 Rt ABC,Rt ABC,C C90 ,ABAB,ACAC,求证 Rt ABCRt ABC证明：在ABC 和 ABC中, C C90 ,2 2 2 2BCAB AC,BCA B A C .ABAB,ACAC
16、, BCBCRt ABCRt ABCSSS学问拓展“ HL” 是直角三角形所独有的判定定理,对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等时, 这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件,只需找出另外两个条件即可,而这两个条件中必需有一个是边对应相等个直角三角形不肯定全等课堂检测与一般三角形全等一样, 只有三个角相等的两1、写出命题“ 同位角相等,两直线平行” 的逆命题,并判定真假名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、如图 131 所示,在 Rt ABC 中, ACB90 , AB50,BC30,CD
17、AB 于点 D,求 CD 的长3、在正方形 ABCD 中,如图 132 所示,F 为 DC 的中点,E 为 BC 上一点,且 EC1 BC,4求证 EFA90 4、试判定三边长分别为 2n 2+2n,2n+1,2n 2+2n+1n0的三角形是否是直角三角形5、如图 1-38 所示,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得 MAD30 ,货轮以每小时 20 海里的速度航行, 1 小时后到达 B 处,测得 MBD=45 ,该货轮到达灯塔 M 的正东方向的 D 处时,货轮与灯塔 M 的距离是多少 .精确到 01 海里,3 1732 体验中考名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、如图 1-41 所示,在 ABC 中,AB=AC ,AD 是底边上的高,如 AB=5 cm,BC=6 cm,求 AD 的长度2、如图 145 所示,在直角梯形 ABCD 中 AD BC, ABC90 , DEAC 于点 F,交 BC 于点 G,交 AB 的延长线于点 E,且 AEAC（1）求证 BGFG；（2）如 ADDC2,求 AB 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页