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1、- 圆的基本性质考点1 对称性圆既是_对称图形，又是_对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的_。它的对称中心是_。同时圆又具有旋转不变性。温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_并且平分弦所对的两条_。常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于_，并且平分弦所对的两条_。温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定
2、理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也_。常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦_。（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧_。方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间
3、的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。考点4 圆周角定理及其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于这条弧所对的圆心角的_。推论：半圆或直径所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它
4、来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。例1：如图1，正方形ABCD是O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则BPC的度数是（ ）A B C DODABC例3图例1图ABCDEO例2图例2：如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）ABCD例3：高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C D训练一、选择题（每
5、题3分，共30分）1（09年南宁）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30,O的半径为，则弦CD的长为（ ）A B C D第3题图第4题图第1题图第2题图2（09年天津市）如图，ABC内接于O，若OAB28，则C的大小为（ ）A28 B56 C60 D623（09南宁）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30, O的半径为，则弦CD的长为（ ）A B CD4（09年安徽）如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，则AB的长为（ ）A2 B3 C4 D55（09年安徽）ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是（
6、） A120 B125 C135 D1506（09年重庆）如图，O是ABC的外接圆，AB是直径若BOC80，则A等于（ ）A60 B50 C40 D30第6题图第7题图第8题图第9题图BCDA7（09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A5米 B8米 C7米 D5米 8（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A0.4米B0.5米 C0.8米D1米9（09山西省太原市）如图，在RtABC中，C90，AB10，若以点C为圆心，CB长为半径的
7、圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）AB5 C D610.( 09年云南省)如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若D 35，则OAC的度数是（ ）A35 B55 C65 D70 第10题图第11题图第12题图第13题图二、填空题（每小题3分，共30分）11（09年长沙）如图，AB是O的直径，C是O上一点，BOC44，则A的度数为 12（09年长春）如图，点在以为直径的上，则的长为 13. （09年福州）如图，AB是O的直径，点C在O上 ，ODAC，若BD1，则BC的长为 14（09年北京市）如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA，则ABD. 第14题图第15题图第1
8、6题图第17题图15（09年山东青岛市）如图，AB为O的直径，CD为O的弦，ACD42，则BAD _.16（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点C、D在以AB为直径的O上，且CD平分，若AB2,CBA15，则CD的长为 17（09年广东省）已知O的直径AB8cm，C为O上的一点，BAC30则BC_cm.18（09年山西省）如图所示，、是圆上的点，则 度第18题图第20题图 19.( 09年上海市) 在O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA 20(09成都)如图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么BD_三、解答题（共60分）第21题图21(本题6分)
9、（09年广西钦州）已知：如图，O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为求O1的半径第22题图22(本题6分) (09年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，ABAD，BFCBAD2DFC.求证：（1）CDDF；（2）BC2CD.第22题图23(本题6分)（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E第23题图E 度；25(本题7分)（09年株洲市）如图，点、是上的三点，.（1）求证：平分.第25题图（2）过点作于点，交于点. 若，求的长26. (本题9分) (0
10、9年潍坊)如图所示，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结（1）求证：；（2）若圆的半径为10cm，求的面积第27题图参考答案基础知识回放轴 中心 对称轴 圆心 弦 弧 弦 弧 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相等 一半 直角 直径例1、A 例2、B 例3、C中考效能测试1B 【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm.2D【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以AOB=2C。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=2
11、8, AOB=124，所以C=62.故选D.3【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm. 4B 【解析】由垂径定理，可得DH=,所以BH=又可得DHBADB.,所以有.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。5C【解析】由CD为腰上的高,I为ACD的内心，则IAC+ICA=,所以又可证AIBAIC,得AIB=AIC=。6C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以A是BOC的一半，答案为C.7B【解析】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m
12、，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选B。8D【解析】考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形：AOBCD设圆的半径为R，则OA=R，由垂径定理可得AC=，OC=R-0.2，在中，利用勾股定理可得：，解得R=0.5，故该圆的直径为（米）。9A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD，C90，D是AB中点，AB10，CDAB5，BC5，根据勾股定理得AC，故选A10B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角
13、的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以2700，而中，所以，而18001100，所以550.法2：因为是直径，所以900，则900，而中，所以，而350，从而问题得解。1122【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为。125【解析】因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。132【解析】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以ODBD,
14、根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.1428【解析】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。1548【解析】连接OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，,又因OD=OA，所以。16【解析】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC，过点O作OE，使OECD，垂足为点E，因为ABC=15，OB=OC，所以OCB=15，OCE=BCD-OBC=45-15=30，在RtOCE中，CE=OCco
15、s30=1,所以CD=.174【解析】本题考察的是圆周角定理.根据直径所对的圆周角为直角可以得到C为直角.再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=AB=4cm.1830【解析】1=A+B, B=30,又C=B=30.（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到C=1=35.195【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在O中，AB=6，OCAB于C，则AC=AB=3，在RtAOC中，.203【解析】因为ABBC，ABC120，则CAB=ACB=30，又AD为O的直径，则ABD=90，又A
16、D6，AB=3，则BD=3。提炼知识。解：过点O1作O1CAB，垂足为C，则有ACBC由A（1，0）、B（5，0），得AB4，AC2在中，O1的纵坐标为，O1CO1的半径O1A322证：（1）设DFC，则BAD2在ABD中，ABAD， ABDADBABD12（180-BAD）90-又FCDABD90-FCD+DFC90CDDF（2）过F作FGBC于G在FGC和FDC中 ，FCGADBABDFCDFGCFDC90,FCFCFGCFDCGCCD且GFCDFC又BFC2DFCGFBGFCBC2GC， BC2CD.23解：（1）45（2）ACPDEP理由：AEDACD，APCDPE， ACPDEP（3）方法一： ACPDEP， 又 AP，AC， DE 方法二：如图2，过点作于点在中， AP 又， DF 24AB是O的直径，ACB90又CDAB于点D，BCD90ABCAFBCD F，FBCCBGFBCCBG25（1）， ；， 即平分. （2） 又， ，设，则，根据勾股定理得，解得（或者用）即的长是.26（1）证明：平分 平分，又为等腰三角形 （2）解：当时，为钝角三角形，圆心在外，连结，为正三角形 又知，.答：的面积为cm2 -第 11 页-