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1、- 圆的基本性质基础知识回放集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）
2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 圆周
3、角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边
4、的一半的逆定理。弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：MN是切线，AB是弦 BAM=BCA切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线 MNOA切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切
5、线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在O中，弦AB、CD相交于点P PAPB=PCPA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在O中，PA是切线，PB是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在O中，P
6、B、PE是割线 弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式： 中考热点难点突破例1：如图1，正方形ABCD是O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则BPC的度数是（ ）A B C DODABC例3图例1图ABCDEO例2图例2：如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）ABCD例3：高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C D试题演练一、选择题1如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30,O的半径为，则弦CD的长为（ ）A B
7、 C D第3题图第4题图第1题图第2题图2如图，ABC内接于O，若OAB28，则C的大小为（ ）A28 B56 C60 D623如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30, O的半径为，则弦CD的长为（ ）A B CD4如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，则AB的长为（ ）A2 B3 C4 D55ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是（ ） A120 B125 C135 D1506如图，O是ABC的外接圆，AB是直径若BOC80，则A等于（ ）A60 B50 C40 D30第6题图第7题图第8题图第9题图BCDA7
8、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A5米 B8米 C7米 D5米 8一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A0.4米B0.5米 C0.8米D1米9如图，在RtABC中，C90，AB10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）AB5 C D610.如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若D 35，则OAC的度数是（ ）A35 B55 C65 D70 第10题图第11题图第12题图第13题图二、填空题11如图，AB是O的直径，
9、C是O上一点，BOC44，则A的度数为 12如图，点在以为直径的上，则的长为 13.如图，AB是O的直径，点C在O上 ，ODAC，若BD1，则BC的长为 .14如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA，则ABD. 第14题图第15题图第16题图第17题图15如图，AB为O的直径，CD为O的弦，ACD42，则BAD _.16如图，点C、D在以AB为直径的O上，且CD平分，若AB2,CBA15，则CD的长为 17已知O的直径AB8cm，C为O上的一点，BAC30则BC_cm.18如图所示，、是圆上的点，则 度第18题图第20题图 19. 在O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，
10、那么半径OA 20如图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么BD_三、解答题21如图，AB为O直径，BC切O于B，CO交O交于D，AD的延长线交BC于E，若C = 25，求A的度数22如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AEBF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明23如图，P为正比例函数图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（，） （1）求P与直线相切时点P的坐标； （2）请直接写出P与直线相交、相离时的取值范围 四、解答题（每小题8分，共24分）24从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm11cm
11、，如图甲用尺量出整卷卫生纸的半径（）与纸筒内芯的半径（），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（取3.14，结果精确到0.001cm）图 图25如图，A是半径为12cm的O上的定点，动点P从A出发，以cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动（1）如果POA90o，；（2）如果点B是OA延长线上的一点，ABOA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与O的位置关系，并说明理由26如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验
12、证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；（3）在（2）的条件下，求证直线CD是M的切线五、解答题（每小题8分，共16分）27如图，图是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，MOA，且（1）求点M离地面AC的高度MB（单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）28图是用钢丝制作的一个几何探究具，其中ABC内接于G，AB是G的直径，AB6，AC3现将制作的几何探究
13、工具放在平面直角坐标系中（如图），然后点A在射线OX由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图），当点B滑动至与点O重合时运动结束（1）试说明在运动过程中，原点O始终在G上；（2）设点C的坐标为（，），试求与之间的函，并写出自变量的取值范围；（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？图 图 图参考答案中考效能测试1B 【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm.2D【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以AOB=2C
14、。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=28, AOB=124，所以C=62.故选D.3【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm. 4B 【解析】由垂径定理，可得DH=,所以BH=又可得DHBADB.,所以有.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。5C【解析】由CD为腰上的高,I为ACD的内心，则IAC+ICA=,所以又可证AIBAIC,得AIB=AIC=。6C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以A是BOC的一半，答案为C.7B【解析】本题主要考查直角
15、三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选B。8D【解析】考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形：AOBCD设圆的半径为R，则OA=R，由垂径定理可得AC=，OC=R-0.2，在中，利用勾股定理可得：，解得R=0.5，故该圆的直径为（米）。9A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD，C90，D是AB中点，AB10，CDAB5，BC5，根据勾股定理得AC，故选A1
16、0B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以2700，而中，所以，而18001100，所以550.法2：因为是直径，所以900，则900，而中，所以，而350，从而问题得解。1122【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为。125【解析】因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。132【解析】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再
17、根据两条直线平行,同位角相等,所以ODBD,根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.1428【解析】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。1548【解析】连接OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，,又因OD=OA，所以。16【解析】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC，过点O作OE，使OECD，垂足为点E，因为ABC=15，OB=OC，所以OCB=15，OCE=BCD-OBC=45
18、-15=30，在RtOCE中，CE=OCcos30=1,所以CD=.174【解析】本题考察的是圆周角定理.根据直径所对的圆周角为直角可以得到C为直角.再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=AB=4cm.1830【解析】1=A+B, B=30,又C=B=30.（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到C=1=35.195【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在O中，AB=6，OCAB于C，则AC=AB=3，在RtAOC中，.203【解析】因为ABBC，ABC120，则CAB=ACB=
19、30，又AD为O的直径，则ABD=90，又AD6，AB=3，则BD=3。三、解答题21AB为O的直径，BC切O于B，ABC = 90，C = 25，BOC = 65o，A = BOD，A = 32.5o 22解：OEOF证明：作OMAM，垂足为M根据垂径定理得AMBMAEBF，AMAEBMBF，即EMFMOEOF 23（1）当P与直线相切时，点P的坐标为（5，）或（，）；（2）当时，P与直线相交当或时，P与直线相离四、解答题24设该两层卫生纸的厚度为xm，则： ，解得，答：设两层卫生纸的厚度约为0.026cm 25（1）3s；（2）当点P运动2s时，POA60o，OAAPAB，OPB90o，BP与O相切 26（1）略；（2），点D不在抛物线上；（3）略五、解答题27（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N易求得铁环钩离地面的高度MB为1cm；（2）解RtFMN，结合勾股定理与三角函数可得，铁环钩的长度FM为50/3cm 28（1）连OG，OGAGBG，点O始终在G上；（2）作CD轴，CE轴垂足分别为D，E，可得CADCBE，得，；（3）线段的两个端点分别为C1（，），C2（，3），当OA时，C1（，）；当OA时，C3（，）；C1C23，C2C33，点C运动的路程为 -第 12 页-