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1、-初三数学圆知识点总结与典型习题精练-第 6 页圆一）【圆的定义及与圆相关的定义】在一个平面内，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，这个线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作，读作“圆O”。圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。例1. 如图，将半径为1的圆的边上的A点与数轴的原点重合，然后沿着数轴向右滚动，滚动一周得到点A，则点A表示的数为_弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示。二）【圆的确定】三）【垂径定理及其应用】1.垂径定理：垂直于
2、弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等2.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（直径）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。3.在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d（圆心到弦的距离）、半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者
3、的关系，它们的关系为r2=d2+(a/2)2，r=d+h。例2：如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若COD=120，OE=3厘米，则OD=_: 例3：如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为()例4：等腰ABC的三个顶点都在O上，底边BC=8cm，O半径为5cm，求SABC分为两种情况：如图1，当O在ABC外部时，连接AO，交BC于D，连接OB，O是ABC的外接圆，AB=AC，AOBC，BD=CD=8cm=4cm，在RtOBD中，由勾股定理得：OD=（cm），AD=AO-OD=5cm-3cm=2cm，SABC=BCAD=8cm2cm=8cm2；如图2，当O在A
4、BC内部时，连接AO，交BC于D，连接OB， AD=AO+OD=5cm+3cm=8cm，SABC=BCAD=8cm8cm=32cm2四）【弧、弦、圆心角之间的关系】1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。例5：如图，OABC，AOB=70，则AOC的度数为_，ADC的度数为_例6：如图，AB是O的直径，C、D是弧BE的两个等分点，COD=35，则AOE的度数为_度五）【圆周角定理及推论】1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，
5、相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例7：如图，点A、B、C、D在O上，若BDC=30，则BAC=()度例8：如图，ABC内接于O，C=40，则ABO=_度例9：如图，已知ABC内接于O，C=45，AB=4，则O的半径为()六）【点和圆的位置关系】设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr，点P在O外。例10：在直角三角形ABC中，C=90，AC=3，AB=5若以点C为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点B和C的相互位置关系为()A.点A，点B均在
6、C内 B.点A，点B均在C外C.点A，点B均在C上 D.点A在C上，点B在C外例11：如图，在RtABC中ACB=90，AC=6，CB=8，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作O，设线段CD的中点为P，则点P与O的位置关系是_七）【直线与圆的位置关系】直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与O相交dr如何判断直线与圆
7、的关系：方法方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.0，直线和圆相交.=0，直线和圆相切.0，直线和圆相离.方法是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.dR，直线和圆相离.八）【圆和圆的位置关系】1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R
8、和r，圆心距为d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr） 两圆内含dr)4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。九）【相交弦定理】1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）。2.相交弦定理说明：若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PCPD。例12：如图，O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=()例13：如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PCPO
9、，PC交O于点C，若AP=4，PB=2，则PC的长为_十）【切线及切线长】切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。在应用判定定理时注意： 线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线 切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与
10、圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十一）【三角形的外接圆与外心】1. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。2. 三角形的外心是什么：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。3. 三角形的外接圆与外心的性质：（1）三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径；
11、（2）一个三角形有且只有一个外接圆；（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。例14：如图，O是ABC的外接圆，已知B=60，则CAO的度数是=_度例15：如图，O是ABC的外接圆，C=30，AB=2cm，则O的半径为_cm作直径AD，连接BD，得：ABD=90，D=C=30，AD=4，即圆的半径是2十二）【圆内接四边形】1. 圆内接四边形的定义：如果一个多边形的所有定点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。例16：已知如图，在圆内接四边
12、形ABCD中，B=30，则D=_例17：如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角DCE=64，那么BOD=()例18：如图，已知O中，AOB的度数为80，C是圆周上一点，则ACB的度数为()十三) 【正多边形和圆的相关概念】一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距十四）【弧长的计算】弧长的计算在半径是的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就是圆的周长，所以n的圆心角所对的弧长为。1.这里的，180在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位；2.在弧长的计算公式中，已知中任意的两个量，都可以求出第三个量；3.应区分弧、弧长、弧的度数这三个概念，度数相等的弧，其弧长不一定相等，弧长相等的弧，也不一定是等弧。