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1、圆一）【圆的定义及与圆相关的定义】在一个平面内, 一条线段 OA 围着它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点 A 所形成的图形叫做圆；固定的端点O 叫做圆心,这个线段OA 叫做半径,以点O 为圆心的圆,记作, 读作“圆 O ”；圆是轴对称图形,任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；例1.如图,将半径为 1 的圆的边上的 A 点与数轴的原点重合,然后沿着数轴向右滚动, 滚动一周得到点 A,就点 A表示的数为弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径；弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；弧用符号“”表示；二）【圆的确定】三）【垂径定理及其应用】1. 垂径定理：垂直于弦的直径平
2、分这条弦,并且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2） ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；2.对于一个圆和一条直线,假如具备以下五个条件中的任意两个,那么肯定具备其他三个：（1） 过圆心；（2） 垂直于弦；（3） 平分弦（直径） ；（4） 平分弦所对的劣弧；（5） 平分弦所对的优弧,简记为“知二推三”；3.在垂径定理的运用中,常涉及弦长 a、弦心距 d（圆心到弦的距离） 、半径 r 及弓形高 h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者的关系,它们的关系为r2 =d2+a/2 2, r=d+h ；例 2：如图, O 的直径
3、 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,如 COD=120,OE=3 厘米,就 OD=:例 3：如图,圆弧形桥拱的跨度AB=12 米,拱高 CD=4米,就拱桥的半径为 A.6.5米B.9米C.13米D.15米例 4： 等腰 ABC的三个顶点都在 O 上,底边 BC=8cm, O 半径为 5cm ,求 S ABC分为两种情形：如图1 ,当 O 在 ABC 外部时,连接AO,交 BC 于 D,连接 OB, O 是 ABC的外接圆, AB=AC,AOBC, BD=CD=1 8cm=4cm,2在 Rt OBD中,由勾股定理得： OD=52423 （ cm）,AD=AO-OD=5cm-3cm=2cm,SAB
4、C= 1 BC AD= 1 8cm 2cm=8cm 2；22（3） ）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等如图 2,当 O 在 ABC 内部时,连接 AO,交 BC于 D,连接 OB,AD=AO+OD=5cm+3cm=8cm,SABC= 1 BC AD= 1 8cm 8cm=32cm 222四）【弧、弦、圆心角之间的关系】1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；例 5：如图, OABC, AOB=70,就 AOC的度数为, ADC 的度数为例 6： 如图, AB 是 O 的直径, C、D 是弧
5、BE 的两个等分点,COD=35,就 AOE的度数为度五）【圆周角定理及推论】1、圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；2、圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论 3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；例 7：如图,点 A、B、C、D 在 O 上,如 BDC=30,就 BAC=度例 8：如图, ABC内接于 O, C=40,就 ABO=度例 9：如图,已知 ABC 内接于
6、 O, C=45, AB=4,就 O 的半径为 六）【点和圆的位置关系】设 O 的半径是 r ,点 P 到圆心 O 的距离为 d,就有： dr,点 P 在 O 外；例 10：在直角三角形 ABC中, C=90, AC=3, AB=5如以点 C 为圆心,画一个半径为3的圆,就点 A,点 B和 C 的相互位置关系为A. 点 A,点 B 均在 C 内B.点 A,点 B 均在 C 外C.点 A,点 B 均在 C 上D.点 A 在 C 上,点 B 在 C 外例 11：如图,在 Rt ABC中 ACB=90, AC=6, CB=8, CD是斜边 AB 上的中线,以 AC为直径作 O,设线段 CD的中点为
7、P,就点 P 与 O的位置关系是七）【直线与圆的位置关系】直线和圆有三种位置关系,详细如下：（1） 相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；（2） 相切：直线和圆有唯独公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,（3） 相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离； 假如 O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与 O 相交dr 如何判定直线与圆的关系：方法方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式 来争论位置关系 . 0,直线和圆相交 .=0,直线和圆相切 . 0,直线和圆相离 .方法是几何的
8、观点,即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较 .dR,直线和圆相交 .d=R,直线和圆相切 .dR,直线和圆相离 . 八）【圆和圆的位置关系】1、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种；假如两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种；假如两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交；2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距；3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和 r ,圆心距为 d,那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr ）两圆内含dr4、两圆相切、相交的重要性质假如两圆相切, 那么切
9、点肯定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；九）【相交弦定理】1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等；（经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等）；2. 相交弦定理说明：如弦AB、CD 交于点 P,就 PA PB=PC PD；例 12：如图, O 中弦 AB,CD 相交于点 P,已知 AP=3, BP=2, CP=1,就 DP=例 13： 如图点 P 为弦 AB 上一点,连接 OP,过 P 作 PC PO,PC 交 O 于点 C,如 AP=4, PB=2,就 PC的长为 十）【切线及切线长】切线的判
10、定和性质1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；在应用判定定理时留意： 线必需满意两个条件： a、经过半径的外端； b、垂直于这条半径, 否就就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切” 这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简洁的说成“无交点,作垂线段,证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简洁地说成“有交
11、点,作半径,证垂直”；切线长定理1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；十一）【三角形的外接圆与外心】1. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆；2. 三角形的外心是什么：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心；3. 三角形的外接圆与外心的性质：（1） 三角形的外心到三个顶点的距离相等,等于外接圆的半径；（2） 一个三角形有且只有一个外接圆；（3） ）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在
12、三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形的外心在三角形外部；例 14： 如图, O 是 ABC的外接圆,已知B=60,就 CAO 的度数是 =度例 15： 如图, O 是 ABC的外接圆, C=30, AB=2cm,就 O 的半径为cm作直径 AD,连接 BD,得：ABD=90, D= C=30, AD=4,即圆的半径是 2 十二）【圆内接四边形】1. 圆内接四边形的定义：假如一个多边形的全部定点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆；2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；例 16： 已知如图,在圆内接四边形ABCD中, B=30,就
13、D=例 17： 如图,四边形ABCD内接于 O,假如它的一个外角DCE=64,那么 BOD=例 18：如图,已知 O 中, AOB 的度数为 80, C 是圆周上一点,就 ACB的度数为 十三 【正多边形和圆的相关概念】一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径, 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距十四）【弧长的运算】弧长的运算在半径是的圆中,由于360的圆心角所对的弧长就是圆的周长,所以弧长为；n的圆心角所对的1.这里的, 180 在弧长运算公式中表示倍分关系,没有单位；2.在弧长的运算公式中,已知中任意的两个量,都可以求出第三个量；3.应区分弧、弧长、弧的度数这三个概念,度数相等的弧,其弧长不肯定相等,弧长相等的弧,也不肯定是等弧；