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1、幻灯片1线性代数（第五版）幻灯片2l 在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.l 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.幻灯片3l 我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.l 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.幻灯片4l 行列式是线性代数的一种工具！l 学习行列式主要就是要能计算行列式的值.第一章 行列式l 内容提要l 1 二阶与三阶行列式l 2 全排列与其逆序数l 3 n 阶行列式的定义l 4 对换l 5 行列式的性质l 6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则l 行列式的概念
2、.l （选学内容） l 行列式的性质与计算.l 线性方程组的求解. 幻灯片51 二阶与三阶行列式l 我们从最简单的二元线性方程组出发，探l 求其求解公式，并设法化简此公式.幻灯片6一、二元线性方程组与二阶行列式l 二元线性方程组 l 由消元法，得l 当 时，该方程组有唯一解 幻灯片7l 二元线性方程组 l 请观察，此公式有何特点？l 分母相同，由方程组的四个系数确定.l 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.l 求解公式为幻灯片8l 我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.l 二元线性方程组 l 记号 l 数表 l 其求解公式为l 表达式 称为由该l 数表所确定的二阶行列式
3、，即l 其中， 称为元素.l i 为行标，表明元素位于第i 行； l j 为列标，表明元素位于第j 列.l 原则：横行竖列幻灯片9l 二阶行列式的计算 l 对角线法则 l 主对角线 l 副对角线 l 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 幻灯片10l 二元线性方程组 l 若令 l (方程组的系数行列式)l 则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片11l 求解二元线性方程组l 例1 l 解 l 因为 l 所以 幻灯片12二、三阶行列式l 定义 设有9个数排成3行3列的数表l 原则：横行竖列l 引进记号l 主对角线 l 副对角线 l 称为三阶行列式.l 二阶行列式的对角线法则并不适用！幻灯片
4、13l 三阶行列式的计算 l 对角线法则 l 实线上的三个元素的乘积冠正号， l 虚线上的三个元素的乘积冠负号.l 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 幻灯片14l 例2 计算行列式 l 解l 按对角线法则，有幻灯片15l 例3 求解方程 l 方程左端l 解l 由 得幻灯片162 全排列与其逆序数幻灯片17l 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？l 引例l 1 2 3l 解l 1l 3l 2l 百位l 3种放法l 3l 1l 2l 1l 2种放法l 十位l 1种放法l 1l 2l 3l 个位l 共有l 种放法.幻灯片18l 问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有
5、多少种不同的l 排法？l 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.l 显然 l 即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.幻灯片19l 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法l 123，132，213，231，312，321l 所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.l 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.幻灯片20l 对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.l n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.l 定义
6、 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，l 就称这两个元素组成一个逆序.l 例如 在排列32514中，l 3 2 5 1 4l 思考题：还能找到其它逆序吗？l 答：2和1，3和1也构成逆序.幻灯片21l 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.l 排列 的逆序数通常记为 .l 奇排列：逆序数为奇数的排列.l 偶排列：逆序数为偶数的排列.l 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ l 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.幻灯片22l 计算排列的逆序数的方法l 设 是 1, 2, , n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序. l 先看
7、有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；l 再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ;l l 最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ;l 则此排列的逆序数为幻灯片23l 例1：l 求排列 32514 的逆序数.l 解：l 练习：l 求排列 453162 的逆序数.l 解：幻灯片243 n 阶行列式的定义幻灯片25一、概念的引入l 规律：l 三阶行列式共有6项，即3!项l 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积l 每一项可以写成 （正负号除外），其中l 是1、2、3的某个排列.l 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 幻灯片26l 所以，三阶行列式可以写成 l
8、 其中 表示对1、2、3的所有排列求和. l 二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形. 幻灯片27二、n 阶行列式的定义l 简记作 ，l 其中 为行列式D的(i, j)元l n 阶行列式共有 n! 项l 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积l 每一项可以写成 （正负号除外），其中l 是1, 2, , n 的某个排列.l 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 幻灯片28l 思考题： 成立吗？l 答：符号 可以有两种理解：l 若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则 .l 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号
9、相混淆. 例如：一阶行列式 . 幻灯片29l 例：l 写出四阶行列式中含有因子 的项. l 解：l 和l 例：l 计算行列式幻灯片30l 解：l 其中 幻灯片31幻灯片32l 四个结论：l (1) 对角行列式 l (2) 幻灯片33l (3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）l (4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）幻灯片34l 思考题：用定义计算行列式l -1l 解：用树图分析l 3l 1l -2l 1l -1l 2l -2l 3l 3l -1l 故幻灯片35l 思考题l 已知 ，求 的系数. 幻灯片36l 解l 含 的项有两项，即l 对应于l 故 的系数为1.幻灯片3
10、74 对换幻灯片38一、对换的定义l 定义 l 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换l 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换l 例如 幻灯片39l 备注l 相邻对换是对换的特殊情形. l 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. 幻灯片40二、对换与排列奇偶性的关系l 定理1对换改变排列的奇偶性. l 证明l 先考虑相邻对换的情形 幻灯片41l 注意到除 外，其它元素的逆序数不改变.幻灯片42l 当 时， ， ， . l 当 时， ， ， . l 因此相邻对换改变排列的奇偶性. 幻灯片43l 既然相邻对换改变排
11、列的奇偶性，那么 l 因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.l 推论 l 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， l 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.l 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.l 证明 幻灯片44l 因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即 l 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 l 与 都同时作一次对换，即 与 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变. 幻灯片45l 设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为 . l 设经过一次对换后行标排列
12、的逆序数为l 列标排列的逆序数为l 因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数， 也是奇数. l 所以 是偶数， l 即 是偶数. l 于是 与 同时为奇数或同时为偶数. l 因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.幻灯片46l 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有幻灯片47幻灯片48l 例1 试判断 和l 是否都是六阶行列式中的项.幻灯片49l 例2 用行列式的定义计算 幻灯片50l 解幻灯片51三、小结l 1. 对换改变排列奇偶性l 2. 行列式的三种表示方法幻灯片525 行列式的性质幻灯片53一、行列式的性质l 记l 行列
13、式 称为行列式 的转置行列式. l 若记 ，则 .l 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .幻灯片54l 性质1 行列式与它的转置行列式相等.l 证明l 若记 ，则l 根据行列式的定义，有l 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.幻灯片55l 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.l 备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 .l 验证l 于是l 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.l 证明l 互换相同的两行，有 ，所以 . 幻灯片56l 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.l 备注
14、：第 行（列）乘以 ，记作 .l 验证l 我们以三阶行列式为例. 记 l 根据三阶行列式的对角线法则，有幻灯片57l 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面l 备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 .幻灯片58l 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零l 验证l 我们以4阶行列式为例. 幻灯片59l 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,l 例如：l 则幻灯片60l 验证l 我们以三阶行列式为例. 幻灯片61l 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变l 备注：以数 乘第 行
15、（列）加到第 行（列）上，记作 .l 验证l 我们以三阶行列式为例. 记 l 则幻灯片62二、应用举例l 计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为l 上三角形行列式，从而算得行列式的值l 例幻灯片63l 解幻灯片64幻灯片65幻灯片66幻灯片67幻灯片68l 解幻灯片69幻灯片70l 例3 设 l 证明 幻灯片71l 证明l 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 l 设为l 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 l 设为幻灯片72l 对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ，l 把 D 化为下三角形行列式l 故幻灯片73三、小结l (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性
16、质对列也同样成立).l 行列式的6个性质l 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值幻灯片74l 思考题 l 计算4阶行列式 幻灯片75l 思考题解答l 解幻灯片76幻灯片776 行列式按行(列)展开l 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.l 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.幻灯片78一、引言l 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.l 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？幻灯片79l 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . l 把 称为元素 的
17、代数余子式l 例如 l 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列l 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.幻灯片80l 引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 l 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 l 例如 幻灯片81l 当 位于第1行第1列时,l 分析 l 即有l （根据P.14例10的结论）l 又l 从而l 下面再讨论一般情形.幻灯片82l 我们以4阶行列式为例. l 思考题：能否以 代替上述两次行变换？幻灯片83l 思考题：能否以 代替上述两次行变换？l 答：不能.幻灯片84l 被调换到第1行，第1列幻灯片85二、行列式按行（列
18、）展开法则l 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即幻灯片86l 同理可得幻灯片87l 例（P.12例7续）幻灯片88l 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式l 证明 用数学归纳法l 所以n=2时(1)式成立.幻灯片89l 假设(1)对于n1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行l 减去前行的 倍：l 按照第1列展开，并提出每列的公因子 ，就有幻灯片90l n1阶范德蒙德行列式幻灯片91l 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即l 分析 我们以3阶行列式为例. l 把第1行的元素换成第2行的对应元素，
19、则 幻灯片92l 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即l 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即l 综上所述，有l 同理可得幻灯片93l 例 计算行列式l 解幻灯片94幻灯片95l 例 设 , 的 元的余子式和l 代数余子式依次记作 和 ，求l 与l 分析 利用幻灯片96l 解幻灯片97幻灯片987 克拉默法则幻灯片99l 二元线性方程组 l 若令 l (方程组的系数行列式)l 则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片100一、克拉默法则l 如果线性方程组l 的系数行列式不等于零，即幻灯片101l 那么线性方程组
20、(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成l 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即幻灯片102l 定理中包含着三个结论：l 方程组有解；（解的存在性） l 解是唯一的；（解的唯一性）l 解可以由公式(2)给出.l 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.幻灯片103关于克拉默法则的等价命题l 设l 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .l 定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必
21、为零.幻灯片104l 例 解线性方程组l 解幻灯片105幻灯片106幻灯片107l 线性方程组l 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.l 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. l 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解. 幻灯片108l 齐次线性方程组的相关定理l 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次l 线性方程组只有零解，没有非零解.l 定理5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. l 备注l 这两个结论说明系数行列式等于零是齐
22、次线性方程组有非零解的必要条件. l 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即：齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零幻灯片109l 练习题：问 取何值时，齐次方程组l 有非零解？l 解l 如果齐次方程组有非零解，则必有 .l 所以 时齐次方程组有非零解.幻灯片110l 思考题l 当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？l 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法l 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.幻灯片111三、小结l 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件l (1)方程个数等于未知量个数；l (2)系数行列式不等
23、于零.l 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解l 和已知的系数以与常数项之间的关系它主要适用于l 理论推导幻灯片112第二章 矩阵与其运算幻灯片1131 矩阵l 一、矩阵概念的引入l 二、矩阵的定义l 三、特殊的矩阵l 四、矩阵与线性变换幻灯片114l B一、矩阵概念的引入l Cl Al 例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.l Dl 城市间的航班图情况常用表格来表示:l l 幻灯片115l A B C Dl l l Al Bl Cl Dl l l l l l 为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上
24、0，就得到一个数表：l 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.幻灯片116二、矩阵的定义l 由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表l 称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵 l 记作 幻灯片117l 简记为l 这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元.l 元素是实数的矩阵称为实矩阵，l 元素是复数的矩阵称为复矩阵.幻灯片118矩阵行列式l 行数不等于列数l 共有mn个元素l 本质上就是一个数表l 行数等于列数l 共有n2个元素幻灯片119l 三、特殊的矩阵l 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 .l 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) .l l 只有一列的矩
25、阵 称为列矩阵(或列向量) .元素全是零的矩阵称为零距阵可记作 O .l 例如： 幻灯片120l 形如 的方阵称为对角阵l 特别的，方阵 称为单位阵l 记作l 记作 幻灯片121l 同型矩阵与矩阵相等的概念l 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.l 例如l 为同型矩阵.l 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元l 素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .幻灯片122l 例如 l 注意：不同型的零矩阵是不相等的.幻灯片123l 四、矩阵与线性变换l n 个变量 与 m 个变量 之间的l 关系式l 表示一个从变量 到变量 线性变换，l 其中 为常数.幻灯片124l 系数矩
26、阵 l 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.幻灯片125l 例 线性变换 l 称为恒等变换.l 单位阵 En幻灯片126l 例 2阶方阵 l 投影变换 l 例 2阶方阵 l 以原点为中心逆时针l 旋转j 角的旋转变换 幻灯片1272 矩阵的运算幻灯片128l 一、矩阵的加法l 定义：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB，规定为l 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.幻灯片129l 知识点比较幻灯片130l 矩阵加法的运算规律l 设 A、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ，记A = (aij)，称为矩阵
27、 A 的负矩阵显然幻灯片131l 二、数与矩阵相乘l 定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为幻灯片132l 数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵，l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.幻灯片133l 知识点比较幻灯片134l 一、矩阵与矩阵相乘l 定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中l 并把此乘积记作 C = AB 幻灯片135l 矩阵乘法的运算规律 l (1) 乘法结合律 l (2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）l (3) 乘法对加法的分配律l (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于
28、数1，即l 纯量阵不同于对角阵l 推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.幻灯片136l (5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义l 显然l 思考：下列等式在什么时候成立？l A、B可交换时成立幻灯片137l 四、矩阵的转置l 定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .l 例幻灯片138l 转置矩阵的运算性质幻灯片139l 解法2幻灯片140l 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即l 那么 A 称为对称阵.l 如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称阵. l 对称阵 l 反对称阵 幻灯片141l 例：
29、设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.l 证明：l 从而 H 是对称阵 幻灯片142l 五、方阵的行列式l 定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.l 运算性质幻灯片143l 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵l 称为矩阵 A 的伴随矩阵.l 性质幻灯片144l 六、共轭矩阵l 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记， 称为 的共轭矩阵. l 运算性质l （设A，B 为复矩阵，l 为复
30、数，且运算都是可行的）：幻灯片1453 逆矩阵幻灯片146l 矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. l 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？l 这就是本节所要讨论的问题.l 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.l 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位 一个复数 a 0的倒数 a1可以用等式 a a1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入幻灯片147l 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得l 这里 E 是 n 阶单位矩阵.l 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. l 对于任意的 n 阶方阵
31、 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯一的（如果有的话）.l 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，l 记作 A1 .幻灯片148l 下面要解决的问题是：l 在什么条件下，方阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 A1 ？幻灯片149l 结论： ，其中幻灯片150l 例：求3阶方阵 的逆矩阵.l 解：| A | = 1，幻灯片151l 方阵A可逆 l 此时，称矩阵A为非奇异矩阵l 定理：若方阵A可逆，则 幻灯片152l 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 l 与AB也可逆，且幻灯片153l 线性变换 l 的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记 l 则上
32、述线性变换可记作 Y = AX . 幻灯片1544 矩阵分块法幻灯片155前言l 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?l 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.l 家具的拆卸与装配l 问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？幻灯片156问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.l 这是2阶方阵吗？幻灯片157思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵幻灯片158问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.幻灯片159分块矩阵的加法幻灯片160l 若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即l 则有l 形式上看成是普通矩阵的加法！幻灯片161分块矩阵的数乘幻灯片162l 若l 是数，且 l 则有l 形式上看成是普通的数乘运算！幻灯片163分块矩阵的乘法l 一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下：幻灯片164按行分块以与按列分块mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作若将第 j 列记作