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1、-圆的定义与有关概念（知识点）圆的定义：1、形成性定义：在一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径记作“O”，读作“圆O”2、集合性定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径与圆有关概念3、弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦 直径：经过圆心弦，称为直径注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径 4、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧用“”表示读作“弧AB”能够重合的两条弧叫做等弧 小于半圆周的弧叫做劣弧，大于半圆周的弧叫做优弧在同圆或等圆中，相等的弧
2、所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等5、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆半径相等的两个圆是等圆7、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心 注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴圆具有旋转对称性。特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心，围绕圆心任意旋转一个角度，都能够与原来的图形重合。注意：圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。8、垂径定理：垂直于弦的直径平分
3、这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧9、垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。10、弓高（拱高），弦心距：一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距。11、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系：设圆的半径为R，弦长为a，弦心距为d，弓高为h，则d+h=R；d2+（）2=R2 ，在R、a、d、h这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。圆心角 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2、圆心角度数定理（1）把顶点在圆心的周角分成360等份时，每一份的圆心角是1的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相
4、等，所以整个圆也被分成360等份，我们把每一份这样的弧叫做1的弧。定义：1的圆心角所对的弧叫做1的弧。 （2）圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对弧的度数相等。3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。可简记为：“等角对等弧”、“等角对等弦”、“等弧对等角”圆心角定理基本图形，如图2-1，在O中，OMAB，OMAB，则AB=ABOM=OMAOB=AOB圆周角定理：1、圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做
5、圆周角2、圆周度数与它所对的弧得度数相等。圆周角的度数等于他所对弧得度数一半，等于它所对弧上的圆心角度数的一半。3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。直径所对的圆周角是直角；直角所对的弦是直径。（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）90的圆周角所对的弦是圆的直径（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等“等弧对等角”、“等角对等弧”（角既可以是圆心角，也可以是圆周角）4、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 。因此，三角形的三个顶点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是
6、三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角切线的定义：过半径外端且垂直于这条半径的直线叫做圆的切线。圆的切线垂直于过切点的半径。切线长定理：1、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。2、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。圆的位置定理：1、点与圆的位置关系：两点间的距离为d，
7、半径为r，点在圆外dr、在圆上d=r、在圆内dr。2、直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离为d，半径为r：当直线和圆有两个交点时（dr），我们说直线和圆相离。3、圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P：外离PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；内切P=R-r；内含PR-r。 3、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。正多边形和圆的定理：1、 正多边形都是轴对
8、称图形。一个正n边形一共有n条对称轴，这n条对称轴相交于一点，这个点到正n边形各顶点的距离相等，到各边的距离也都相等。我们把这个点叫做正多边形的中心。2、 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。3、 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。圆的计算公式（1）圆的周长C=2r=d （2）圆的面积S=r2; （3）扇形弧长l=nr/180 （4）环形面积S=（R2-r2）圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的
9、半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2r，根据扇形面积公式可知S2rlrl因此圆锥的侧面积为S侧rl证明点共圆的方法要证明几个点在同一个圆上，根据圆的定义，可以证明几个点到某一个定点的距离相等，那么这些点就在以这个定点为圆心，以其中一点到定点的距离为半径的圆上。注意：这个定点可能是已知的，也可能是未知的，要是未知的就要先设法找到它。掌握方法：如何确定到三个点距离相等的点的位置，三点所连线段中任意两条垂直平分线的交点。辅助线作法小结（1）当已知中有弦的中点时，常常连接圆心和中点，进而利用垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；另外，当要证明同一圆中的两条弦相等时，也常常作弦心距（即过圆心作弦的垂线段）。（2）在计算弧的度数时，或者有等弧的条件时，或需要证明等弧时，常连接半径作出弧所对的圆心角。（3）当条件中有弧的中点或需要证明弧的中点时，常有以下几种作辅助线的方法：连接弧的中点与圆心，构造半径；连接等弧所对的弦；作等弧所对的圆心角。-第 2 页-