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1、“基本不等式”教学设计一 教材分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书数学（5）（人教A版）第三章第4节第一课时，主要内容为基本不等式的推导及简单应用它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从利用基本不等式求最值这个侧面来体现基本不等式的应用，而且在基本不等式的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理及论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养二学情分析学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易
2、理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的三目标分析教学目标：1学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用3培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦教学重难点：本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程教学难点是基本不等式等号成立条件四教学策略本课在设计上采用了由特
3、殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法: 自主学习及合作讨论相结合教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学五教学过程创设情境 引入课题填写下表，及的大小关系 【问题1】观察及的大小关系，从中你发现了什么结论？猜想得到结论：一般的，如果【问题2】你能给出它的证明吗？证法1 用比较法证明： 作差 = 变形 = 判断符号当且仅当，即时取 取等条件证法2 用分析法证明：
4、要证 (1)只要证 (2)要证（2），只要证 0 （3）要证（3），只要证 （4）显然，（4）是成立的当且仅当时，（4）中的等号成立设计意图:通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法师归纳：（1）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.自主探究 深化认识1.认识基本不等式的几何背景【问题3】能否给基本不等式一
5、个几何解释呢？探究：课本第110页的“探究”在右图中，是圆的直径，点是上的一点，,过点作垂直于的弦，连接、你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证，那么，即.这个圆的半径为，显然，它大于或等于，即，其中当且仅当点及圆心重合，即时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”设计意图:通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解2.拓广探究（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的
6、面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标这个会标设计源于古代弦图它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献今天咱们也来研究一下弦图教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系1 探究图形中的不等关系【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中四个全等的直角三角形设直角三角形的两
7、条直角边长为那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积)【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙我们从图中找到了一个不等式这里、的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有2得到结论：一般的，如果3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 当所以，即师归纳：（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果, 对于不等式，我们用分别、代替，可得，通常我
8、们把上式写作：（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数及形是一个事物的两个方面设计意图: 通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化实际运用 强化新知【例题】（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长及宽取何值时两者乘积最大解：（
9、1）设矩形菜园的长为 ,宽为,则 篱笆的长为2（）由 ，可得 2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10时，所用篱笆最短，最短篱笆为40(2)设矩形菜园的长为,宽为,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由 可得 ,可得等号当且仅当 因此，这个矩形的长、宽都为9时，菜园的面积最大，最大面积为81设计意图:让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活回顾反思 拓展延伸1.课堂小结组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对基本不等式认识的再次深化体会从特殊到一般的研究方法；体会数形结合的数
10、学思想；体会归纳、猜想、证明的思维方法；掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题设计意图:小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训2.作业布置必做题:P.1131、2、3、4选做题：1.已知都是正数，求证：（1）如果积是定值，那么和有最小值，此时；（2）如果和是定值，那么积有最大值，此时2.当时不等式成立，若，则有不等式成立研究性作业：（1）设，称为的调和平均数如图，为线段上的点，且，为中点，以为直径作半圆过点作的垂线，垂足为，连结,则图中线段 的长度
11、是的算术平均数，线段 的长度是的几何平均数，线段 的长度是的调和平均数（2）已知都是正数，证明：设计意图:分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能六教学反思新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途教师应该尽力做好学生探究活动的引路人在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化及化归思想在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念- 7 - / 7