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1、2022高中数学“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思 2022高中数学“ 2 a b + ”教学设计 一 教材分析 本节课选自普通高中课程标准数学教科书数学（5）（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要 2a b + 的推导与简单应用它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从 2a b +2 a b +的应用，而且在基本不等式 2 a b +的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养 二学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等
2、式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的 三目标分析 教学目标： 1学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用 3培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦 教学重难点： 2 a b +的证明过程 2 a b + 等
3、号成立条件 四教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 学法: 自主学习与合作讨论相结合 教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学 五教学过程 创设情境 引入课题 填写下表， 你能给出它的证明吗？ 证法1 用比较法证明： ab b a -+2 作差 =()()? ?-+b a b a 221 22 变形 =() 02 1 2-b a
4、判断符号 当且仅当b a =，即b a =时取= 取等条件 证法2 用分析法证明： 要证 2 a b + (1) 只要证 a b + (2) 要证（2），只要证 a b +-0 （3） 要证（3），只要证 20 （4） 显然，（4）是成立的当且仅当a b =时，（4）中的等号成立 设计意图: 通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法 师归纳： （1）如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中
5、项. （2）在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 自主探究 深化认识 1.认识基本不等式的几何背景 能否给基本不等式一个几何解释呢？ 探究：课本第110页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点， AC a =,BC b =过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 你能利用这个图形得出基本不等式 2 a b + 的几何解释吗？ 易证Rt ACD ?Rt DCB ?，那么2 CD CA CB =?，即CD = 这个圆的半径为 2b a +，显然，
6、它大于或等于CD ，即ab b a +2 ， 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 2 a b + 几何意义是“半径不小于半弦” 设计意图: 通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解 2.拓广探究 （展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机 （展示24届国际数学家大会会标）大家现
7、在看到的是2022年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标这个会标设计源于古代弦图它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献今天咱们也来研究一下弦图 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系 1 探究图形中的不等关系 请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系? 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中四个全等的直角三角形设直角三角形 的两条直角边长为,a b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +由于4个直角三角形的面积小于正方
8、形的面积，我们就得到了一个不等式： 222a b ab +(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正 方形的面积) 大家看，这个图形里还真有点奥妙我们从图中找到了一个不等式这里a 、b 的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？ 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有22 2a b ab += 2得到结论：一般的，如果)(2R,2 2 号时取当且仅当那么=+b a ab b a b a 3思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当2 2 ,()0,
9、()0,a b a b a b a b -=-=时当时 所以，0)(2 -b a ，即.2)(2 2 ab b a + 师归纳： （1）从上述两个不等式中，可以发现，如果0,0a b , 对于不等式22 ()2a b ab +，、 代替,a b ，可得a b +(a0,b0)2 a b + （2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面 设计意图: 通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化 实际运用 强化新知 （1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形
10、的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少？ 分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值 （2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）m 由 2 x y + 可得 x y +2（x y +）40 等号当且仅当10x y x y =时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为x m ,宽为y
11、 m ,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为xy 2m ， 由18 9,22 x y + =可得 81xy , 可得等号当且仅当9x y x y =时成立，此时 因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m 设计意图: 让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活 回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结 组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实 现对基本不等式认识的再次深化 体会从特殊到一般的研究方法； 体会数形结合的数学思想； 体会归纳、猜想、证明的思
12、维方法； 掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题 设计意图: 小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对 探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训 2.作业布置 必做题:P.1131、2、3、4 选做题： 1.已知,x y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么和x y +有最小值，此时x y =； （2）如果和x y +是定值S ，那么积xy 有最大值2 4 S ，此时x y = 2.当a0,b02 a b + 成立，若0(1,2,3,)i a i n =，则有不等式 成立 研究性作业： （1）设00a b ，称 2ab a b +为,a b 的调和平均数如图，C 为线段AB 上的点，且,AC a CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径 作半 圆过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，连结,AD BD ,则图中线段 的长度是,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数