浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答.doc

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1、浙江大学2000年数学分析考研试题及解答一、(1)求极限;解 ;或。(2)设,求.解 由条件,得 ,反复使用此结果,;于是 , ;, ,当时,;当时,不存在。二、(1)设在可导,证明: .证明 由,得对任意,存在 ,当时,成立;因为,对上述及确定的,存在正整数,当时,便有,于是,从而,即得,故有 .(2)设函数在上连续, 在内二阶可导, 则存在, 使得.证明 :由于.作辅助函数, 于是.在上对运用拉格朗日中值定理, , 使得 .再在上对运用拉格朗日中值定理, , 使得 .三、(1)求幂级数的和,求级数的和。解 由于,由于,所以的收敛半径;为了求出它的和,对幂级数,逐项求导数,就有,因而, 。在

2、上式中取,就得。(2)、证明 黎曼函数在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。(这种性质,也称为无穷次可微。) 证明令,显然,都在上连续;对任何,当时,而收敛,所以,()都在上一致收敛,故在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。由于是任意的,所以在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。显然在内非一致收敛,在内不一致连续。假若在内一致连续,则有存在且有限,在中令,取极限,得,矛盾。四、(1)设方程组确定了可微函数试求 。解 由解出,;就可得. (2)设,求 。解 , .五、若在0,1上连续,证明;由此计算 .证:作变量替换,有.解上述方程,就得到所证结论. 利用此公式可得: 于

3、是 =.(2)求以为顶,以为底,以柱面为侧面的曲顶柱体的体积。解 设,则 。(3)求曲面积分,其中是半球面的上侧。解 记,(取下侧),则,由高斯公式知, 。六、(1)设是周期为的函数,且,;写出它的傅里叶级数. (2)将,展开成Fourier级数, (3)求的和; (4)计算.解 (1) 由傅里叶系数的定义,注意到是偶函数, ,用分部积分法计算,, ,所以 . (2) 由(1)的结果及展开定理,容易知道 ,; (3)在上式中取得, ; 因为 , 所以 。(4),由,知对于任意在上一致收敛于,且,;根据逐项积分定理,可以逐项积分,又 ,故.浙江大学2001年数学分析考研试题及解答一、 (1)用“

4、语言”证明 。证明 因为, 对任意给定的,解不等式,得,只要取 ,当时,便有 ,于是 。 (2) 求极限。解 ,由,得 。(3)设 ,且,求。解 由题设条件,知,从而,故 。二、设是可微函数,且满足,求。解 在中,取,得,在方程两边对求导数,得,取,得 。三、在极坐标变换,之下,变换方程.解 , ,;,于是;从而原方程化为,或。四、(1)求由半径为的球面与顶点在球心,顶角为的圆锥面所围成区域的体积,()。解 建立适当的空间直角坐标系,可设球面方程为,顶角为的圆锥面为, 两曲面在上半空间的交线方程为 ,记,由上下对称性,曲面所围区域的体积为 . (2)求曲面积分,其中是曲面的上侧。解 记,(取下

5、侧),则,由高斯公式知, 。五、设 二元函数在长方形区域上连续,(1)试比较与的大小并证明之; (2)给出一个使等式成立的充分条件并证明之。解 (1)显然对任意 ,成立 ,从而,进而 ;(2)六、设是定义在上的连续函数列,且,(1) ;(2) 对任意,在上一致收敛于零.求证:对任意上的连续函数,成立.证明:由题意,知(1) 在上连续,从而有界,使得,(2) 由,知,使得当时,;(3) 在处连续,而有,使得时,有;(4) 对于上述的,在上一致收敛于零,而有对上述,,使得当,时,取,当时,,从而,又,于是结论得证.六、设,证明:(1);(2)对任意,在上一致收敛于零.(3)设是可积函数且在处连续,

6、成立. 证明 因为 ,所以 。 浙江大学 2002年数学分析考研试题及解答一、1、用“语言”证明。 证明 ,当时,我们有, 于是当时,有,对,取,当时,都有 ,这就证明了 。2、给出一个一元函数,在有理点都不连续,在无理点都连续,并证明之。解 Riemann函数: ,对于任意实数,证明 。Riemann函数是在历史上非常著名的函数,说明过一些重大问题,发挥过重大作用。对,互素,所以只有,(在处的值是惟一确定的。) 函数是以1为周期的周期函数。 事实上,当为无理数时,亦是无理数,由定义知,;当为有理数时,互素,互素,由定义知, ,故有, 。 证明 对任意给定的,取充分大的正整数,使得。容易知道,

7、在区间中,使得的分数只有有限多。(因为对每一个,不等式只有有限多个整数解。)因此总能取到充分小的,使得中的有理数的分母 。故当无理数满足时,则;当有理数满足时,必有,因而 ,这就证明了 。从而可知,此函数在有理点都不连续,在无理点都连续。 3、设为二元函数,在附近有定义,试讨论“在点处可微”与“在点的某邻域内偏导数,都存在”之间的关系,必要时,请举出反例。解 (1)若在处可微,则在处的两个偏导数必存在,且; 但不能推出在点的某邻域内偏导数,都存在。 例如 设二元函数,其中,函数在原点处连续,在原点处可微;但该函数在除原点以外的其它点处不连续,偏导数不存在。(2) 若在点的某邻域内偏导数,都存在

8、,且,在处连续,则有在点处可微. 但仅有在点的某邻域内偏导数,都存在,推不出在点处可微。例如函数 显然在原点某邻域内偏导数,都存在存在, 但在处不可微.二、(1)设,数列由如下递推公式定义:,求证:。证明 设,显然,; ,于是得是收敛的,设,显然;在两边令取极限得到,从而,解得,因为,所以,。 (2) 计算极限 。解 当时,可见这个极限是“型”。令, 。最后得出 , . (3)设函数,求, 解 用洛必达法则及归纳法直接验算,可得,(4) 求不定积分,解 , 二、(5)证明黎曼函数在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。(这种性质,也称为无穷次可微。) 证明令,显然,都在上连续;对任何,当

9、时,而收敛,所以,()都在上一致收敛,故在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。由于是任意的,所以在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。显然在内非一致收敛,在内不一致连续。假若在内一致连续,则有存在且有限,在中令,取极限,得,矛盾。三、(1) 计算积分 ,其中常数, (2)为三个实数,证明:方程的根不超过三个三、(1)解 ,其中; , , , ,故 ,,.(2)证明 设, 用反证法,若的零点超过三个,设是它的四个零点,由罗尔中值定理,存在使得,由罗尔中值定理,存在,使得,再次由罗尔中值定理,存在,使得,但这与,矛盾。结论得证。四、设,求证:(1) 对任意自然数,方程在区间内必有唯一根,(2) 并求数列的极限.证明 (1) 显, 由连续函数的介值定理,存在,使得;显然,即在上严格单调递减,所以的根是唯一的.(2)显然,于,即得单调递增, ,从而存在,且,;在,中 令 ,取极限,得 ,得,故 .

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