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1、 1 南开大学 2000 年数学分析考研试题.1.设 22sin,0,0,0,0,0 xyxyx yxyfx yx y，证明,f x y在点0,0处连续，但不可微.2.设 f u具有连续的导函数，且 lim0ufuA，222,:,0Dx yxyRx y，0R，（1）证明 limuf u；（2）求22RDdIfxydxdy；（3）求2limRRIR.3.（1）叙述 f x于区间I上一致连续的定义；（2）设 f x，g x都于区间I上一致连续且有界，证明 F xf x g x也于I上一致连续，4.设函数列 nfx于区间I上一致收敛于 f x，且存在数列 na，使得当xI时，总有 nnfxa，证明
2、f x于I上有界.5.设0na，1,2,n，1nnkkSa，证明（1）若1nnnaS收敛，则1nna也收敛.（2)如果1，1nnnaS收敛，问1nna是否也收敛？说明理由.6.设,f x t于,ac d 上连续，,afx t dx于,c d上一致收敛，证明,afx d dx收敛.2 南开大学 2000 年数学分析考研试题解答 1.解：0,00f，22,xyxyfx yxy 222212xyxyxy12xy，,0,0lim,0,00 x yfx yf，于是,f x y在点0,0处连续.显然0,00 xf，0,00yf，当220 xy 时，22,0,00,0 xyfxyfxfyxy 2222sin
3、xyxyxyxy 的极限不存在，所以,f x y在点0,0处不可微.2.（1）证明 由 lim0ufuA，存在0M，当uM时，有 2Afu，f uf uf Mf M fuMf M 2AuMf M，由此，可知 limuf u；（2）解 22RDIfxydxdy 2200Rdfrrdr 2102 2f Rf；（3）解 2220limlim4RRRf RfIRR 3 22lim42RfRRR 2lim44RfRA.3、简略。4.证明 由于 nfx在I上一致收敛于 f x，对1，存在正整数N，当nN时，有 1nfxf x，xI，1Nfxf x，xI，NNf xf xfxfx1Na，xI，即知 f x在
4、I上有界.5、设0na，nnaaaS21，证明：（1）当1时，1nnnSa收敛；（2）当1，且nnSlim时，1nnnSa发散。（3）当1，且1nna收敛时，1nnnSa收敛。证明 对任意正整数n，1nnnSSa，（00S），因为0na，所以nnSS1，（1）当1时，利用不等式dxxSSSSannSSnnnnn111，得 dxxdxxdxxSaNnnSSNnSSNnnn12211111，2NnnnSa有界，故1nnnSa收敛；4（2）当10，且nnSlim时，111)(NNNNnNnNnnnSSSSaSa，1NnnnSa无界，所以1nnnSa发散；当1，且nnSlim时，方法一 21111pn
5、npnnpnpnnkpnkpnnkkkSSSSSSaSa，对任意大的n，然后取p充分大，就可使上式成立，于是1nkkkSa不是基本列，故1kkkSa发散。方法二 因为 dxxSSSSannSSnnnnn11111，1221lnln1111SSdxxdxxSaNSSNnSSNnnnNnn，从而21kkkSa发散，若nnSa不收敛于 0，则1kkkSa发散，若nnSa收敛于 0，则得111nnnnnnnSaSaSSS，1211nnSS，（n充分大），121nnnnSaSa，于是1kkkSa发散。5 当0，且nnSlim时，1nnnSa1nna发散；当0，且nnSlim时，因为1111SSSaSaN
6、NnnNnnn，所以1nnnSa发散；（3）当1，且SSnnlim存在有限，)(1111kkkkkkkSSSSSSSa，,3,2k，由于)(1121kkkSSS收敛，所以1kkkSa收敛；因为0limSSnn，SSnnlim，从而 SaSannnn1lim，由1nna收敛，得1nnnSa收敛。当1时，由 1nnnSa收敛，推不出1nna收敛。例如 设1,nnaSn。当1时，1nnnSa收敛，但1nna发散。6 6、假设(,)f x u在,a 中连续，如果对,u ，积分(,)af x u dx都收敛，但积分(,)af xdx发散，证明(,)af x u dx在,上非一致收敛 证明 用反证法 假若
7、dxuxfa,在,)上一致收敛，所以 0,00A，当 0,AAA时，,)u ，有dxuxfAA,，又由(,)f x u在,a 中连续，由条件得),(uxf在,AA上一致连续，从而),(),(limxfuxfu，且关于,AAx 是一致收敛的；或者说 dxuxfAA),(在,上连续，在dxuxfAA,中，令u，可见,AAdxxf，即得(,)af xdx 收敛 这与条件(,)af xdx发散矛盾，所以假设不成立 故(,)af x u dx在,上非一致收敛 南开大学 2001 年数学分析考研试题 1.计算三重积分22xydxdydz，其中为由曲面22xyz与平面4z 为界面的区域.2.计算220sin
8、xydxxdyy.3.计算2222LyxIy dxdyxyxy，L为椭圆22194xy，方向为正.4.设 na为一数列，满足limnnnaa，0a，（1）证明21nna收敛；7（2）能否确定1nna的敛散性？说明理由.5.设 f x于,a 上可导，且 0fxc，（c为常数）。证明（1）limxf x；（2)f x于,a 上必有最小值.6.设 f x于0,上有定义，对任意实数0A，f x于0,A上可积，且 limxf xl，(l为有限数）证明 01limxxf t dtlx.7.设0 x，0y 时，,f x y连续且有界，证明（1）对任意整数，0,xyxefx y dx于,上一致收敛；（2）0,
9、xyF yxefx y dx于0,内连续；（3）问0,xyxefx y dx于0,是否必一致收敛？说明理由.南开大学 2001 年数学分析考研试题解答 1.解 22,:4Dx yxy，22xydxdydz22422xyDdxdyxydz 22224Dxyxydxdy 2222004drrrdr 235024rrdr 2460126rr 4613222263.2.解,:,022Dx yxyx，220sinxydxxdyysinDyxdxdyy 8 200sinyydyxdxy 2201sin2yydyy 201sin2yydy 22001coscos2yyydy 2011cos22ydy.3.解 22yPxy，22xQxy，22222Qxyxxy，22222Pxyyxy，0QPxy，,0,0 x y，取0充分小，222:Lxy，2222LyxIy dxdyxyxy LLPdxQdyydx 0LLLDxy dxdyy 22221LDyxdxdydxdyxyxy 213 2Lydxxdy 2126Ddxdy 221264.9 4.证明（1）有条件知，222limnnn aa，222lim1nnaan，而级数211nn收敛，所以21nna收敛；（2）不确定，例 1 1nan，1nna发散；例 2 211nan，1nna收敛.5，6，7 题的解答，简略。