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1、第五章 积分变换法分离变量主要是解决有界区域问题，对于大多数无界区域问题或半无界区域问题，如何求解，需引出另一种求解办法积分变换法。（一）积分变换法1积分变换：就是将某些函数类中的函数,经过某种可逆的分积手续变成另一函数类中的函数F(p)。其中F(p称为f(x)的像函数,f(x)称为原函数,而是p与x的己知函数,称为积分变换核。2积分变换法：对偏微分方程(常微分方程,积分方程)的定解问题中的各项实施积分变换,从而将偏微分方程(常微分方程与积分方程)的求解转换为常微分方程(代数方程)的求解办法叫积分变换法。(二)变换1定义：设函数在上连续,分段光滑且可积,则称函数为函数的变换,记为而称函数为的逆
2、变换,记为显然类似的,称函数为的变换,而称函数为函数的逆变换2性质 若记，则有1 线性性:2 延迟性:3 位移性质:4 相似性质:5 微分性质:若当时,则6 积分性质:7 卷积性质:其中：定义为与的卷积(三)变换:1定义：设函数满足以下条件：(1)当时,(2)时,及除去有限个第一类间断点外,处处连续(3)当时存在常数及使得则称函数为函数的变换,并记作,称函数为函数的逆变换,并记作显然2性质若记(1)线性性质：(2)延迟性质：(3)位移性质：(4)相似性质(5)微分性质：(6)积分性质：(7)卷积性质：3利用积分变换法求解数己定方程时常用到的积分公式(四) 积分变换法解题步骤 用积分变换法解题分
3、三步step1：对方程与定解条件的各项取变换,得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。Step2：求解常微方程的定解问题，得到像函数；Step3：求像函数的逆，即得原定解问题的解。(五) 应用举例:例1:利用积分变换法求解弦振动方程的初值问题解:将t视为参数,对变量作Fourier变换,并证则原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题解上面常微分方程的定解问题，得将空间的解还原到原空间则 这与达朗贝尔公式的结果相一致。例2：求解热传导方程的初值问题解:将t视为参数,对x作变换,并记则:原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题.解常微分方程的定解问题，得 (卷积性质)由广义积分求值
4、得:例3：求解热传导方程解:将t视为参数,对变量x实施变换,并记于是原偏微分方程的定解问题化为:解之得 例4：求解解:将t视为参数,对u(x,t)关于变量x实施Fourier变换,并记则原偏微分积化为:解之得:令 并利用得：例5：利用Laplace变换求解解：两边关于t实施Laplace变换，并记 则：因为：例6：求解定解问题：解：将x视为参数，关于变量t实施变换有并记则有：即求得通解为：由边界条件得由边界条件 而由变换的位移性质有：例7：设有一初始温度为3sin的单位长度的均匀杆，杆的侧面绝热而两端温度保持零度，试达杆内温度分布解：刻定解问题为：对t实施变换，则即：即：解此非齐次的二阶常微分方程得：取变换的逆，则有：思考：利用分离变量法如何求解。例8：求解方法1：先对y面对x积分各一次则又方法2：采用积分变换法，对变量y实施Laplace变换有并证变为即定解问题变为例9：求解一维半无限的热传导问题解：关于实施变换并记则：原问题的定解问题变为由（1）知又第 7 页