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1、主备：冯宗明主备：冯宗明 喻浩喻浩 徐洪燕徐洪燕 审核：牟必继审核：牟必继外在压力增加时，就应增强内在的动力。外在压力增加时，就应增强内在的动力。 yxz 如图，如图， 是是单位单位正方体以正方体以O为原点，分为原点，分别以射线别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点O 叫做坐标叫做坐标原点，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴
2、的平面叫做坐标平面，分别称为面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面CBADOABCODODxyzOABCABCDOoxyzabc(a,b,c)经过经过A A点作三个点作三个平面平面分别分别垂直垂直于于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴，它们与轴，它们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标轴上的坐标a,b,ca,b,c组成的有序实数对组成的有序实数对（a,b,ca,b,c) )叫做叫做点点的坐标的坐标记为记为：（：（a,b,c)问题情境问题情境 右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆
3、右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区二区十二区十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中我们设圆形体育场第一排与体育中心心O的距离为的距离为300m，每相邻两排的间距为，每相邻两排的间距为1m，每，每层看台的高度层看台的高度为为0.6m.现在需要确现在需要确定第九区第三排正定第九区第三排正中的位置中的位置A，如何描，如何描述这个位置？述这个位置？现实生活中，人们经常需要确定空间一个点现实生活中，人们经常需要确定空间一个点的位置。如的位置。如问题情境问题情境GPSGPS系统包括三大部分：空间部分系统包括三
4、大部分：空间部分-GPS-GPS卫星星座；地面控制部分卫星星座；地面控制部分-地面监控系地面监控系统；用户设备部分统；用户设备部分-GPS-GPS信号接收机。信号接收机。 问题情境问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢那么怎样确定它们在空间的位置呢? ? GPSGPS的空间部分是由的空间部分是由24 24 颗工作卫星组成颗工作卫星组成, ,它位它位于距地表于距地表20 200km20 200km的上空的上空, ,均匀分布在均匀分布在6 6 个轨道面个轨道面上上( (每个轨道面每个轨道面4 4 颗颗) ,) ,轨道倾角为轨道倾角为5555。此外。此外, ,还还有有4 4 颗有源备份卫星在轨运行。
5、卫星的分布使得颗有源备份卫星在轨运行。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到在全球任何地方、任何时间都可观测到4 4 颗以上颗以上的卫星的卫星, ,并能保持良好定位解算精度的几何图象。并能保持良好定位解算精度的几何图象。这就提供了在时间上连续的全球导航能力。这就提供了在时间上连续的全球导航能力。 问题问题: : 在平面极坐标系的基础上，通过极点在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂，再增加一条与极坐标系所在平面垂直直z轴，这样就建立了轴，这样就建立了柱坐标系柱坐标系。yzxo其中其中r0, 0r0, 0 2, Z2, ZR特别地，特别地，r=常数，表示的是
6、以常数，表示的是以z轴为轴的轴为轴的圆柱面圆柱面； =常数，表示的是过常数，表示的是过z轴的轴的半平面半平面； z =常数，表示的是以与常数，表示的是以与xOy平面平行的平面平面平行的平面。设设P( (x, ,y, ,z) )是空间任意是空间任意一点，它在一点，它在Oxy平面上平面上的射影为的射影为Q，Q点的极点的极坐标为坐标为( (r, ),),则则P的位的位置可用有序数组置可用有序数组( (r, z) )表示表示, , ( (r, z) )叫做点叫做点P的柱坐标的柱坐标. .QP(x , y , z)P(r, z)(r,)xyzo 柱坐标系又称柱坐标系又称半极坐标系半极坐标系，它是由平面极
7、坐标，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. . 说明：说明：1.1.这一组公式就是：这一组公式就是：空间点空间点P P的的柱坐标柱坐标 (r,Z)向点向点P的的直角坐标直角坐标(x, y, z)(x, y, z) 转化公式。转化公式。co ssinxryrzz二、同一点的柱坐标二、同一点的柱坐标P P(r,Z)和空间直角坐标和空间直角坐标P P(x, y, z)的互化公式：的互化公式：222tan(0)rxyyxxzz 2. 2.通过上面一组公式的变形可得到：通过上面一组公式的变形可得到：空空间点间点P P的直角坐标的直角坐标(x, y
8、, z)(x, y, z)向点这向点这P P的的柱柱坐标坐标 (r,Z)(r,Z)转化公式。转化公式。角的确定与前面一样，一般先求tan 的值，再由x,y的符号确定角 的象限，由象限说 ：得出明的值。设点的直角坐标为设点的直角坐标为(1,-1,1),(1,-1,1),求它在柱坐标系中的坐求它在柱坐标系中的坐标标. .12tan12 22 22 22 2解解：由由公公式式得得r r= = x x + +y y+ +( (- -1 1) ) yx， 是第二象限角是第二象限角 注注: :求求时要注意角的终边与点的射影所在位置一致时要注意角的终边与点的射影所在位置一致344点在柱坐标系中的坐标为（点在
9、柱坐标系中的坐标为（ ， ，1 1）234 = x=10,y=-10,y=-101.1.设设P点的柱坐标为点的柱坐标为 ，求它的直，求它的直角坐标角坐标. . 2.2.设设M点的直角坐标为点的直角坐标为 ，求，求它的柱坐标它的柱坐标. . 练习练习( 1,3,3)(2,7)6(3,1,7)4(2,3)3思考：思考：点点P的柱坐标为的柱坐标为( (, z) )，(1)(1)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(2)(2)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(3)(3)当当z为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面xyzoP(, z)(,
10、)Q 给定一个底面半径为给定一个底面半径为r r，高为，高为h h的圆的圆柱，建立柱坐标系，利用柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置底面上点的位置. .xyzo注：注：坐标与点的位置有关坐标与点的位置有关思考：在实际生活或科学研究领域，思考：在实际生活或科学研究领域，有时需要描述球面上一点的位置，有时需要描述球面上一点的位置，如如u某市的经纬度：北纬某市的经纬度：北纬4242，东经，东经119119. .地球的纬度地球的纬度地球的纬度与经度：地球的纬度与经度：三、球坐标系的相关概念。三、球坐标系的相关概念。xyzoQPr0r 020 建立空间直角坐标
11、系建立空间直角坐标系Oxyz. .设设P( (x, ,y, ,z) )是空间任是空间任意一点，记意一点，记| |OP|=|=r, ,OP与与Oz轴正向所夹的角为轴正向所夹的角为. .点点P在在Oxy平面上的射影为平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为时所转过的最小正角为.则则P的位置可用有序数组的位置可用有序数组(r, ,)表示，表示， (r, ,)叫做点叫做点P的的球坐标球坐标. . P(r, ,)r, ,的取值范围分别是的取值范围分别是sincossinsincosxryrzrxyoQP(r, ,)rz0r 002 说明：说明：1.这一组公式
12、就是：这一组公式就是： 空间点空间点P P的的球坐球坐标标 (r, (r, ,) ,)向点向点P P的的直角坐标直角坐标(x, y, z)(x, y, z) 转化公式。转化公式。四、同一点的球坐标四、同一点的球坐标P P(r, ,)和空间直角坐标和空间直角坐标P P (x, y, z)的互化公式：的互化公式：xyoQP(r, ,)rz0r 002 2. 2. 通过上面一组公式的变形可得到：通过上面一组公式的变形可得到：空间点空间点P P的的直角坐标直角坐标(x, y, z)向点向点P的球坐标的球坐标 (r,)转化公式。转化公式。222222tan(0)tan(0)rxyzxyzzyxxtan
13、，就可确定 ；角的确定与前面一样，一般先求tan 的值，再由x,y的符号确定角 的说明： 的确定相对简单，先象限，由象限求得出出的值。例例1.设点的球坐标为设点的球坐标为(2(2， ， ) )，求，求它的直角坐标它的直角坐标. .43432点在直角坐标系中的坐标为点在直角坐标系中的坐标为( (1,1,1,1, ) )222(243cos212222243sin43sin212222243cos43sin2）（zyx 例例2.设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(2(2， ，4 )4 )，求，求点点P P的球坐标的球坐标.(.(课本：课本：2121页例页例2)2)2 334 2点点P P的球坐
14、标为的球坐标为( , , )( , , )4练习练习. .设设M点的直角坐标为点的直角坐标为 , ,那么它的球坐标是那么它的球坐标是 . .( 1,1,2 )2.2.设设M点的直角坐标为点的直角坐标为 ，那么它的球坐标是那么它的球坐标是 练习练习( 1,1,2 ).(2,)44A5.(2,)44B5.(2,)44C3.(2,)44DB思考：思考：点点P的球坐标为的球坐标为(r, ,) ，(1)(1)当当r为常数时为常数时, ,点点P的轨迹是的轨迹是_ _ _(2)(2)当当 为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_ _ _(3)(3)当当为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_ _ _
15、以原点为球心，这个常以原点为球心，这个常数为半径的球面数为半径的球面以原点为顶点，以原点为顶点，z z轴为轴为轴圆锥面或平面或射线轴圆锥面或平面或射线过过z z轴的半平面轴的半平面xyzoQP(r, ,)r数轴数轴平面直角坐标系平面直角坐标系平面极坐标系平面极坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法生了坐标法.坐标系坐标系小结小结1.1.球坐标系学习目标：球坐标系学习目标：(1)(1)理解球坐标三个
16、分量的几何意义；理解球坐标三个分量的几何意义；(2)(2)能够将球坐标转化为直角坐标能够将球坐标转化为直角坐标. .2.2.将球坐标转化为直角坐标：将球坐标转化为直角坐标：sincossinsincosxryrzr阅读课本阅读课本P21-22 了解球坐标系的概念以及在球坐标了解球坐标系的概念以及在球坐标系中点的确定系中点的确定xyzoPQr设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OPOP， 记记| OP |=r| OP |=r，OPOP与与OZOZ轴正向所夹的角为轴正向所夹的角为.在在oxyoxy平面的射影为平面的射影为Q Q，设设P P在在oxyoxy平面上的射影为平面上的射影为Q
17、 Q，OxOx轴按逆时针方向旋转到轴按逆时针方向旋转到OQOQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为.这样点这样点 P P 的位置就可以用有序数组的位置就可以用有序数组(r, (r, j,) )表表示示. .(r,) 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐标系叫做叫做球坐标系球坐标系 ( (或或空间极坐标系空间极坐标系) .) .有序数组有序数组(r,(r,) )叫做点叫做点P P的球坐标，的球坐标，其中其中20,0, 0rxyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,(r,) )之间建立了一种对应关系之间建立了一种对应关系. .空间点空间点P的直角坐标
18、的直角坐标(x, y, z)与球坐标与球坐标(r,)之间的变换关系为之间的变换关系为 cossinsincossinrzryrx数学运用数学运用例例1 1、建立适当的球坐标系，表示棱长为、建立适当的球坐标系，表示棱长为1 1的正方体。的正方体。xzABCGDEFO(0,0,0)O(1,0)2A( 2,)2 4B (1,)2 2C (1,0,0)D( 2,0)4E3( 3,arccos,)34F( 2,)4 2G 空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标( (x x, , y y, , z z) )与球坐标与球坐标( (r r, , q q, , j j ) )之间的变换关系之间的变换关系: :xyz建构数学建构数学Oz rP (r, , ,)yxz2222xyzrsincossinsincosrrrr 0, 0 , 0 2 Q