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1、圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题高二数学组高二数学组 牛建强牛建强圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例1 1、已知点、已知点F F是双曲线是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上动点，则是双曲线右支上动点，则的最小值为的最小值为 . . 221412xyPFPA思维导图：思维导图：根据双曲线的定义，建立点根据双曲线的定义，建立点A A、P P与两焦点之间的关系与两焦点之间的关系两点之间线段最短两点之间线段最短F FA AP Py yx x圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的
2、最值问题解析：设双曲线右焦点为解析：设双曲线右焦点为F F/ /249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFF FA AP Py yx x圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题24yxx xy y圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆 ，A（4，0），），B（2，2）是椭圆内）是椭圆内的两点，的两点，P 是椭圆上任一点，求：（是椭圆上任一点，求：（1）求）求 的最小值；的最小值； （2）求）求 的最小值和最大值的最小值和最大值221259xy5|4PAPB|PAPB| |PAPB圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问
3、题圆锥曲线的最值问题例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. .2212xy2 3yx思维导图：思维导图：求与求与 平行的椭圆平行的椭圆的切线的切线2 3yx切线与直线切线与直线 的距离为的距离为最值，切点就是所求的点最值，切点就是所求的点. . 2 3yxx xy yo o圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. .22
4、12xy2 3yx解：设椭圆与解：设椭圆与 平行的切线方程为平行的切线方程为 2 3yxyxb22(1)12yxbxy222234220(4 )4 3 (22)03xbxbbbb minmax61)3,;2362)3,.2bdbd 当时 代 入 (1)得当时 代 入 (1)得圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 2yx4yx圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例3 3、在平面直角坐标系中，、在平面直角坐标系中，P(x,yP(x,y) )是椭圆是椭圆 上动点，则上动点，则S=S=x+yx+y的最大值是的最大值是_._.思维
5、导图：思维导图：根据椭圆的参数方程表示根据椭圆的参数方程表示x x、y y将将S S表示成关于参数的函数表示成关于参数的函数 1222 yx圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题解析：设解析：设P P点坐标为点坐标为 则则3cos(02 )sinxy3cossin312(cossin )222sin()3Sxy当当 时，时， . .6max2S圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 22,26a bRab2ab圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题已知已知P是椭圆是椭圆 在第一象限内的点，在第一象限内的点，A（2，0），），B（0，1），），O为原点，求四边形为原点，求四边形OAPB的面积的最大值的
6、面积的最大值 2214xy圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例4 4、设椭圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线 与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值. .(0)ykxkA AF FE EB Bx xy y思维导图：思维导图：用用k k表示四边形的面积表示四边形的面积根据基本不等式求最值根据基本不等式求最值 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例4 4、设椭
7、圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线 与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值. .(0)ykxk解析：依题意设得椭圆标准方程为解析：依题意设得椭圆标准方程为 直线直线ABAB、EFEF的方程分别为的方程分别为 设设2214xy20,(0)xyykxk112212( ,)(,)()E x kxF x kxxx221222122,41414xyxxkkykx 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题根据点到直线距离公式及上式，点根据点到直线距
8、离公式及上式，点E E、F F到到ABAB的距离分别为的距离分别为2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB 又四边形四边形AFBEAFBE的面积为的面积为121()2SAB hh圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题2222222214(12 )2(12 )525(14)(14)(12 )14422141442 12 214kkSkkkkkkkkkmax121.22 2kkS当且仅当即时成立圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 22132xy圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的
9、最值问题圆锥曲线的最值问题例例5 5、点、点A A、B B分别是椭圆分别是椭圆 的长轴的左右端的长轴的左右端点，点，F F为右焦点，为右焦点，P P在椭圆上，位于在椭圆上，位于x x轴的上方，且轴的上方，且PAPFPAPF若若M M为椭圆长轴为椭圆长轴ABAB上一点，上一点，M M到直线到直线APAP的距离等于的距离等于|MB|.|MB|.求求椭圆上点到点椭圆上点到点M M的距离的最小值的距离的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思维导图：思维导图：把所求距离表示为椭圆把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数上点的横坐标的函数求这个函数的最小值求这个函数的最小值 2213620
10、 xy圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),设点设点P(x,yP(x,y) )，则，则222(6, ),(4, ),(6)(4)0(1)1(2)3620APxyFPxyAFFPxxyxy 由由(1)(1)、(2)(2)及及y0y0得得325 32xyAPAP的方程为的方程为360 xy圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题设设M(mM(m，0)0)，则点，则点M M到直线到直线APAP的距离的距离6,62mdMBm6622mmm设椭圆上点（设椭圆上点（x x0 0,y,y0 0）到）到M M距离为距离为d d则则2200220002000max(2)54420949()1566929152dxyxxxxxxd当时 ，圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 2214xy圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题