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1、2019北京卷 (文科数学 )1.A12019 北京卷 已知集合 A=x|-1x 1,则 A B=()A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+ ) D.(1,+ )1.C解析 A= x|-1x 1,A B=(-1,+ ).2.L42019 北京卷 已知复数 z=2+i,则 z ? = ()A. 3B. 5C.3 D.5 2.D解析 z= 2+i,z ? =|z|2=22+12=5.3.B32019 北京卷 下列函数中 ,在区间 (0,+ )上单调递增的是()A.y=?12B.y=2-x C.y=log12x D.y=1?3.A解析 易知 y=?12在区间 (0,+ )上单调递增 ,故选
2、 A.4.L12019 北京卷 执行如图 1-1 所示的程序框图 ,输出的 s 值为()图 1-1A.1 B.2 C.3 D.4 4.B解析 由程序框图可得 ,k= 1,s= 1,s=21231-2=2,1 3 不成立 ,执行循环体 ;k=2,s=22232 -2=2,2 3 不成立 ,执行循环体 ;k=3,s=22232 -2=2,3 3 成立,结束循环 ,输出 s=2.5.H6 2019 北京卷 已知双曲线?2?2-y2=1(a0)的离心率是 5,则 a=()A. 6B.4 C.2 D.125.D解析 因为双曲线?2?2-y2=1(a0)的离心率为 5,所以 e=?=?2+1?2= 5,所
3、以 a2=14,所以 a=12.6.A2,B42019 北京卷 设函数 f(x)=cos x+b sin x(b 为常数 ),则“ b=0”是“ f(x)为偶函数”的()名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.C解析 若 b=0,则 f(x)=cos x,所以 f(x)是偶函数 ;若 f(x)是偶函数 ,则 cos(-x
4、)+bsin(-x)=cos x+bsin x 对 x R 恒成立 ,即 bsin x=0 对 x R 恒成立 ,所以 b=0.综上,“b=0”是“ f(x)为偶函数”的充分必要条件.7.B72019 北京卷 在天文学中 ,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lg ?1?2,其中星等为 mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是 -26.7,天狼星的星等是 -1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.17.A解析 若太阳的星等 m1=-26.7,天狼星的星等 m2=-1.45,
5、则 m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25.因为 m2-m1=52lg?1?2,所以 lg?1?2=10.1,所以?1?2=1010.1.8.C2 ,C6,C82019 北京卷 如图 1-2,A,B 是半径为 2 的圆周上的定点 ,P 为圆周上的动点 , APB 是锐角 ,大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为()图 1-2A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 8.B解析 设圆的圆心为 O,连接 OA,OB,AB,设弦 AB 的中点为 D,连接 OD(如图所示 ).依题意得 ,圆 O 的半径R=2,由正弦定理知?sin?=2R,所以 AB=4sin
6、 .因为 AOB= 2 ,所以图中劣弧AB 所对的弓形面积S弓形=S扇形 AOB-SAOB=12 2 22-12 22sin 2=4 -2sin 2 .欲求阴影区域面积的最大值,只需求点 P 到弦 AB 的距离 d 的最大值 .因为 OD=?2-(?2)2=22-(4sin?2)2=2cos ,d R+OD,所以阴影区域面积的最大值为S弓形+12AB (R+OD )=4 -2sin 2 +12 4sin (2+2cos )=4sin +4.9.F2,F32019 北京卷 已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 a b,则 m=. 9.8解析 因为 a=(-4,3),b=(6,m),a
7、b,所以 -4 6+3m=0,解得 m=8.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 10.E52019 北京卷 若 x,y 满足 ?2,?-1,4? -3?+ 1 0,则 y-x 的最小值为,最大值为. 10.-31解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分.由?= 2,4? -3?+ 1 = 0得? = 2,? = 3,即 B(2,3).设 k=y-x ,当直线 k=y-x 经过点 B(2,3)时
8、,k 取得最大值 ,即为 1;当直线 k=y-x 经过点 A(2,-1)时,k 取得最小值 ,即为-3.所以 y-x 的最小值为 -3,最大值为 1.11.H3,H4,H72019 北京卷 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.则以 F 为圆心 ,且与 l 相切的圆的方程为. 11.(x-1)2+y2=4解析 因为抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 l:x=-1,所以焦点到准线的距离为2,所以所求圆的半径为 2,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.12.G2,G72019 北京卷 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图1-3 所示.如果网格纸上小
9、正方形的边长为 1,那么该几何体的体积为. 图 1-312.40解析 由三视图可得 ,该几何体是一个棱长为4 的正方体割去一个底面为直角梯形的直四棱柱ABCD-EFGH 后剩余的部分 (如图所示 ),所以该几何体的体积为43-12 (2+4) 2 4=40.13.G4,G52019 北京卷 已知 l,m 是平面 外的两条不同直线 .给出下列三个论断 :l m;m ;l .以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题 :. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -
10、- - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 13.若 m ,l ,则 l m(答案不唯一 )解析 若 m ,且 m? ,过直线 m 的平面 与平面 相交,记交线为 n,由线面平行的性质定理 ,可得 m n,又 l ,所以 l n,所以 l m.14.E82019 北京卷 李明自主创业 ,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/盒、 90 元/盒.为增加销量 ,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的8
11、0% .当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒,需要支付元; 在促销活动中 ,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为. 14.13015解析 一次购买草莓和西瓜各1 盒,总价为 60+80=140(元),超过 120 元,所以顾客少付 10 元,即顾客需要支付 130 元.设促销前总价为T 元,当 T0,依题意得 (T-x) 80% 0.7T 对 T 120 恒成立 ,所以 x18T 对 T 120 恒成立 ,等价于当 T 120 时,x18Tmin=18 120=15,所以 x 的最大值为 15.15.C5,C82019 北京卷 在 ABC 中,a
12、=3,b-c= 2,cos B=-12.(1)求 b,c 的值 ;(2)求 sin(B+C)的值 .15.解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-2 3 c( -12).因为 b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2 3 c(-12),解得 c=5.所以 b=7.(2)由 cos B=-12得 sin B=32.由正弦定理得 sin A=?sin B=3314.在 ABC 中,B+C= -A,所以 sin(B+C)=sin A=3314.16.D2,D3,D52019 北京卷 设an是等差数列 ,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比
13、数列 .(1)求an的通项公式 ;(2)记an的前 n 项和为 Sn,求 Sn的最小值 .16.解:(1)设an的公差为 d.因为 a1=-10,所以 a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列 ,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),所以(-2+2d)2=d(-4+3d),解得 d=2.所以 an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当 n 7 时,an0;当 n 6 时,an 0.所以,Sn的最小值为 S6=-30.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
14、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 17.I1,I2,K22019 北京卷 改革开放以来 ,人们的支付方式发生了巨大转变,近年来 ,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有5 人,样本中仅使用A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下:支付金额支付方式不大于 2000 元大于 2000 元仅使用 A27 人3 人仅
15、使用 B24 人1 人(1)估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使用的人数.(2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取1 人,求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率 .(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人,发现他本月的支付金额大于 2000 元.结合 (2)的结果 ,能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化 ?说明理由.17.解:(1)由题知 ,样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30(人),仅使用 B 的学生有 24+1=25(人),A,B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人.故样本中 A,B
16、两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人),估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使用的人数为40100 1000 =400.(2)记事件 C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人,该学生上个月的支付金额大于2000 元” ,则P(C)=125=0.04.(3)记事件 E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人,该学生本月的支付金额大于2000 元”.假设样本仅使用B 的学生中 ,本月支付金额大于2000 元的人数没有变化 ,则由 (2)知,P(E)=0.04.答案示例 1:可以认为有变化 .理由如下 :P(E)比较小 ,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生
17、 ,就有理由认为本月支付金额大于2000 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化 .答案示例 2:无法确定有没有变化.理由如下 :事件 E 是随机事件 ,P(E)比较小 ,一般不容易发生 ,但还是有可能发生的 .所以无法确定有没有变化.18.G4,G52019 北京卷 如图 1-4,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 平面 ABCD,底面 ABCD 为菱形 ,E 为 CD 的中点 .图 1-4(1)求证:BD 平面 PAC.(2)若 ABC= 60 ,求证 :平面 PAB 平面 PAE.(3)棱 PB 上是否存在点F,使得 CF 平面 PAE?说明理由 .18.解:(1)证明 :因为 PA 平面
18、 ABCD ,所以 PA BD.又因为底面 ABCD 为菱形 ,所以 BD AC,所以 BD 平面 PAC.(2)证明:因为 PA 平面 ABCD,AE? 平面 ABCD ,所以 PA AE.因为底面 ABCD 为菱形 , ABC= 60 ,且 E 为 CD 的中点 ,名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 所以 AE CD,所以 AB AE,所以 AE 平面 PAB ,所以平面 PAB 平面 PAE.
19、(3)棱 PB 上存在点 F,使得 CF 平面 PAE.取 F 为 PB 的中点 ,取 G 为 PA 的中点 ,连接 CF,FG,EG,则 FG AB,且 FG=12AB.因为底面 ABCD 为菱形 ,且 E 为 CD 的中点 ,所以 CE AB,且 CE=12AB.所以 FG CE,且 FG=CE ,所以四边形 CEGF 为平行四边形 ,所以 CF EG.因为 CF? 平面 PAE ,EG? 平面 PAE,所以 CF 平面 PAE.19.H1,H52019 北京卷 已知椭圆 C:?2?2+?2?2=1 的右焦点为 (1,0),且经过点 A(0,1).(1)求椭圆 C 的方程 ;(2)设 O
20、为原点 ,直线 l:y=kx+t (t 1)与椭圆 C 交于两个不同点P,Q,直线 AP 与 x 轴交于点 M,直线 AQ 与 x 轴交于点 N,若|OM| |ON|= 2,求证:直线 l 经过定点 .19.解:(1)由题意得 ,b2=1,c=1,所以 a2=b2+c2=2.所以椭圆 C 的方程为?22+y2=1.(2)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线 AP 的方程为 y=?1-1?1x+ 1.令 y=0,得点 M 的横坐标 xM=-?1?1-1.又 y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=|?1?1+? -1|.同理,|ON|= |?2?2+? -1|.由?= ? +
21、?,?22+ ?2= 1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,则 x1+x2=-4?1+2?2,x1x2=2?2-21+2?2.所以|OM| |ON|= |?1?1+? -1| |?2?2+? -1|=|?1?2?2?1?2+?(?-1)(?1+?2)+(?-1)2|名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - =|2?2-21+2?2?22?2-21+2?2+?(?-1)(-4?1+2?2)+(?
22、 -1)2|=2|1+?1-?|.又|OM| |ON|= 2,所以 2|1+?1-?|=2,解得 t=0,所以直线 l 经过定点 (0,0).20.B11 ,B12 2019 北京卷 已知函数 f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲线 y=f(x)的斜率为 1 的切线方程 ;(2)当 x -2,4时,求证:x-6 f(x) x;(3)设 F(x)=|f(x)-(x+a )|(a R),记 F(x)在区间 -2,4上的最大值为M(a),当 M(a)最小时 ,求 a 的值.20.解:(1)由 f(x)=14x3-x2+x 得 f(x)=34x2-2x+1.令 f(x)=1,即34x2-2x+1=
23、1,得 x=0 或 x=83.又 f(0)=0,f(83)=827,所以曲线 y=f(x)的斜率为 1 的切线方程是 y=x 与 y-827=x-83,即 y=x 与 y=x-6427.(2)证明:令 g(x)=f(x)-x,x -2,4.由 g(x)=14x3-x2得 g(x)=34x2-2x.令 g(x)=0 得 x=0 或 x=83.当 x 变化时 g(x),g(x)的变化情况如下 :x-2(-2,0)00,838383,44g(x)+0-0+g(x)-60-64270所以 g(x)的最小值为 -6,最大值为 0.故-6 g(x) 0,即 x-6 f(x) x.(3)由(2)知,当 a 3;当 a-3 时,M(a) F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;当 a=-3 时,M(a)=3.综上,当 M(a)最小时 ,a=-3.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -