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1、一次函数及相关典型例题一次函数复习课知识点 1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k，b 为常数， k0 ）的形式，则称y 是 x的一次函数 （x 为自变量）， 特别地，当 b=0 时， 称 y 是 x 的正比例函数.例如： y=2x+3 ， y=-x+2 ，y=11x 等都是一次函数，y=x， 22y=-x 都是正比例函数. 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定 . （2）一次函数y=kx+b （k， b为常数， b0 ）中的 “ 一次 ” 和一元一次方程、一元一次不等式中的 “ 一次 ”
2、意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数 . （3）当 b=0， k0 时， y= kx 仍是一次函数. （4）当 b=0， k=0 时，它不是一次函数. 知识点 2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的 y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系一次函数 y=kx+b （k，b 为常数， k0 ）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时， y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时， y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交
3、的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；当 b 0时，直线与y 轴交于正半轴上；当 b 0时，直线与y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 1118（l）所示，当k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限） ；如图 1118（ 2）所示，当k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图 1118（ 3）所示，当kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图 1118（ 4）所示，当kO，bO 时，直线经过第二、三、四象
4、限（直线不经过第一象限）（5）由于 |k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的知识点 3 正比例函数y=kx （k0 ）的性质（1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - （2）当 k0 时，图象经
5、过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小知识点 4 点 P（x0，y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x0,y0 的值必满足解析式y=kx+b ；（2）如果 x0，y0 是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0 为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1， 2）满足直线y=x+1 ，即 x=1 时， y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P （2，1）不满足解析式y=x+1 ，因为当x=2 时， y=3，所以点 P （2，
6、1）不在直线y=x+l 的图象上知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k0 ）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k 的值（2）由于一次函数y=kx+b （k0 ）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值知识点 6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数） ，再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数， 从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法 其中未知系数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中， k，b 就是待
7、定系数知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（ -1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为ykx+b（ k0 ） ，由题意可知，12kb, 3kb,4k,3 解b5.3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - -
8、- 此函数的关系式为y=45x 33 【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数 “ 设” 关系式y=kx+b ，其中k，b 是未知的常量，且k0 ） ；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程 （或方程组） ，求出待定系数k，b） ；第三步，求（把求得的k，b 的值代回到 “ 设” 的关系式y=kx+b 中） ；第四步，写（写出函数关系式） . 思想方法小结（1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数
9、方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k 0 ）位置的影响当 b0 时，直线与y轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与y 轴的负半轴相交当 k， b异号时，即 - 当 b=0 时，即 -b0 时，直线与x 轴正半轴相交；kb=0 时，直线经过原点；k b 当 k，b 同号时，即 -0 时，直线与x 轴负半轴相交k 当 k O， bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过
10、第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线y=kx+b （ k0 ）与直线y=kx(k 0) 的位置关系直线y=kx+b(k 0) 平行于直线y=kx(k 0)当 b0 时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当 bO 时，把直线y=kx向下平移 |b|个单位，可得直线y=kx+b （3）直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2 （ k10 ，k20 ）的位置关系 k1k2y1 与 y2相交；k1
11、k2；y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点（0， b1）或（ 0，b2）bb21 k1k2,y1 与 y2 平行；bb21 k1k2,y1 与 y2 重合 . bb21 典例讲解基本题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12x；（2）y=
12、-；（3）y=-3-5x ； 2x 122（4）y=-5x；（5）y=6x- （ 6）y=x(x-4)-x. 2 （ 1）y=- 分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解解： （1） （3） （5） （6）是一次函数， （l） （6）是正比例函数例 2 当 m 为何值时，函数y=-（m-2）xm23+（ m-4）是一次函数？分析 某函数是一次函数，除应符合 y=kx+b 外，还要注意条件k0 解：函数 y=（m-2）xm23+（m-4）是一次函数，m231,m=-2. (m2)0, 当 m=-2 时，函数y=（m-2）xm23+（m-4）是一次函数小结某函数是一次函数应满足的条件是
13、：一次项（或自变量） 的指数为1，系数不为 0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0基础应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数） 图象及根据图象收集相关的信息；（3） 利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例 3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长 0 5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（ cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是 x 的一次函数分析 （1）弹簧每挂1kg 的物体
14、后，伸长05cm，则挂 xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0 5x）cm，即 y=15+0 5x（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0 x18(3)由 y=15+05x 可知， y 是 x 的一次函数解： （l） y=15+05x（2）自变量x 的取值范围是0 x18（3）y 是 x 的一次函数学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58 千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是. 老师评一评研究本题可采用线段图示法，如图1119 所示火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为58t 千米
15、，此时，距离库尔勒的距离为s 千米，故有 58t+s=600，所以， s=600-58t例 4 某物体从上午7 时至下午4 时的温度M（）是时间t（时）的函2 数： M=t-5t+100 （其中 t=0 表示中午 12 时， t=1 表示下午1 时） ，则上午 10 时此物体的温名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 度为分析本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t 的具体值从题中可以知道，
16、 t=0 表示中午 12 时， t=1 表示下午1 时，则上午310 时应表示成t=-2，当 t=-2 时， M=（-2）-5 （-2）+100=102（） 答案： 102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值分析 由 y-3 与 x 成正比例，则可设y-3=kx ，由 x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式解： （1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设y-3=kx 把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得7-32k，k2y 与 x 之间的
17、函数关系式为y-3=2x ，即 y=2x+3 （2）当 x=4 时， y=2 4+3=11（3）当 y4 时， 4=2x+3， x=1. 2 学生做一做已知 y 与 x+1 成正比例， 当 x=5 时，y=12，则 y 关于 x 的函数关系式是. 老师评一评由 y 与 x+1 成正比例，可设y 与 x 的函数关系式为y=k（x+1）. 再把 x=5，y=12 代入，求出k 的值，即可得出y 关于 x 的函数关系式设 y 关于 x 的函数关系式为y=k（x+1）. 当 x=5 时， y=12 ，12=（5+1）k， k=2y 关于 x 的函数关系式为y=2x+2 【注意】y 与 x+1 成正比例
18、，表示y=k(x+1) ，不要误认为y=kx+1. 例 6 若正比例函数y=（1-2m） x 的图象经过点A（ x1，y1）和点 B（x2，y2） ，当 x1 x2时， y1y2，则 m 的取值范围是（）AmO Bm0 Cm1 2 DmM 分析 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1x2 时， y1y2，说明 y 随 x 的增大而减小，所以1-2mO,m1，故正确答案为D 项2 学生做一做某校办工厂现在的年产值是15 万元，计划今后每年增加2 万元（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求 5年后的产值老师评一评（1）年产值y（万元）与年数x（
19、年）之间的函数关系式为y=15+2x （2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x0 ，因此，函数y=15+2x 的图象应为一条射线画函数y=12+5x 的图象如图 11 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 21 所示（3）当x=5 时， y15+2 5=25（万元）5 年后的产值是25 万元例 7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图1122 所示，求函数表达式分析从图象上可以看出，
20、它与x 轴交于点（ -1，0） ，与 y 轴交于点（ 0，-3） ，代入关系式中，求出k 为即可解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（ 0，-3）两点，代入到 y=kx+b 中，得0kb,k3,30b,b3.此函数的表达式为y=-3x-3. 例 8 求图象经过点（2，-1） ，且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式分析 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2， 则可设此表达式为y=2x+b，再将点（ 2， -1）代入，求出b 即可解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，图象经过点（2，-1） ，-l=2 2+bb=-5，所求一次函数的表达式为y=2x-5. 综合
21、应用题本节知识的综合应用包括： （1）与方程知识的综合应用； （2）与不等式知识的综合应用； （ 3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例 8 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？分析判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b 中为常数，且k0 ）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k 为常数，且k0) 即可解： （1）y 是 x 的一次函数y+a 与 x+b 是正比例函数，设 y+a=k(x+b) （k 为常数，且k0 ）整理得 y=kx+ （kb-a）
22、k0 ，k，a，b 为常数，y=kx+(kb-a) 是一次函数（2）当 kb-a=0，即 a=kb 时，y 是 x 的正比例函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“ 全球通 ” 使用者先交50 元月租费，然后每通话1 分，再付电话费04 元； “ 神州行 ” 使用者不交月租费，每通话1 分，付话费06 元（均指市内通话）若1 个月内通话x 分，两种通讯方
23、式的费用分别为y1 元和 y2 元（1）写出 y1，y2 与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200 元，则选择哪种通讯方式较合算？分析这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论解： （1）y1=50+04x（其中 x0 ，且 x 是整数）y2=06x（其中 x0 ，且 x 是整数）(2)两种通讯费用相同，y1=y2 ，即 50+04x=06xx250一个月内通话250 分时，两种通讯方式的费用相同（3）当 y1=200 时，有 200=50+04x，x=375（分） “ 全
24、球通 ” 可通话 375 分当 y2=200 时，有 200=06x，x=3331 （分） 3 1 分3“ 神州行 ” 可通话 333 3753331， 3 选择 “ 全球通 ” 较合算例 10 已知 y+2 与 x 成正比例，且x=-2 时， y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时， y0 ？（4）若点（ m， 6）在该函数的图象上，求 m 的值；（5）设点 P 在 y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、 y 轴分别交于A，B 两点，且SABP=4 ，求 P 点的坐标分析由已知 y+2 与 x 成正比例，可设 y+2=kx ，把
25、x=-2，y=0 代入，可求出k，这样即可得到y 与 x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6 代入即可求出 m 的值解： （1） y+2 与 x 成正比例，设 y+2=kx （ k 是常数，且k0 ）当 x=-2 时， y=00+2k （ -2） ， k-1函数关系式为x+2=-x ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 即 y=-x-2
26、 （2）列表；描点、连线，图象如图1123 所示（3）由函数图象可知，当x -2 时， y0 当 x -2 时， y0 (4)点（ m，6）在该函数的图象上，6=-m-2, m-8（5）函数 y=-x-2 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，A（-2，0） ，B（0，-2） SABP=1 |AP| |OA|=4 ， 2 884. |OA|2|BP|= 点 P 与点 B 的距离为4又 B 点坐标为 (0，-2),且 P 在 y 轴负半轴上，P 点坐标为 (0，-6). 2 例 11 已知一次函数y=（3-k）x-2k+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图
27、象经过点（0， -2）? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（4）k 为何值时， y 随 x 的增大而减小？分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项 bO；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于0解： （1）图象经过原点，则它是正比例函数2k2180,k-23k0, 当 k=-3 时，它的图象经过原点（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）. 2-2=-2k+18 ，且 3-k0 ，k=名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
28、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 当 k= 时，它的图象经过点(0，-2) （3）函数图象平行于直线y=-x，3-k=-1 ，k4当 k 4时，它的图象平行于直线x=-x（4）随 x 的增大而减小，3-kOk3当 k 3时， y 随 x 的增大而减小例 12 判断三点A（3， 1） ，B（0， -2） ，C（4，2）是否在同一条直线上分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上解：设过 A，
29、B 两点的直线的表达式为y=kx+b 由题意可知，13kb,k1,20b,b2. 过 A，B 两点的直线的表达式为y=x-2当 x=4 时， y=4-2=2 点 C（4， 2）在直线y=x-2 上三点 A（3，1） ， B（0，-2） ，C（4， 2）在同一条直线上学生做一做判断三点A（3，5） ，B（0， -1） ，C（1，3）是否在同一条直线上. 探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例 13 老师讲完 “ 一次函数 ” 这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数
30、值先达到30？这说明了什么？（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？甲生说： “y=6x的函数值先达到30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快” 乙生说： “ 直线y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗？分析（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x2 时， 6x2x+8 ，所以，y=6x 的函数值先达到30（2）直线y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的解：这两位同学的说法都正确例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“ 如果老师买全票，
31、其他人全部半价优惠” 乙旅行社说： “ 所有人按全票价的6 折优惠 ” 已知全票价为240 元（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y 甲元，乙旅行社的收费为y 乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠分析先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 再通过比较，探究结论解 ： （ 1） 甲 旅 行 社 的 收 费y 甲 （
32、元 ） 与 学 生 人 数x之 间 的 函 数 关 系 式 为y甲=240+1 240 x=240+120 x. 2 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为y 乙=240 60 （x+1）=144x+144 （2）当 y 甲=y 乙时，有240+120 x=144x+144 ，24x96， x=4当 x=4 时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以当 y 甲 y 乙时， 240+120 x 144x+144，24x96， x 4当 x 4时，去乙旅行社更优惠当 y 甲 y 乙时，有240+120 x 140 x+144，24x96， x 4当 x 4时，去甲旅行社更优惠小结此
33、题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策， 另外， 这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000 千克以上 （含 3000 千克） 的有两种销售方案甲方案： 每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案： 每千克 8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由老师评一评先求出两种购买方
34、案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论（1）甲方案的付款y 甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y 甲=9x（x 3000 ） ；乙方案的付款y 乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y 乙=8x+500O （x 3000 ） （2）有两种解法：解法 1：当 y 甲=y 乙时，有9x=8x+5000 ，x=5000 当 x=5000 时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以当 y 甲 y 乙时，有9x8x+5000，x5000又 x3000 ，当 3000 x5000 时，甲方案付款少，故采用甲方案当 y 甲 y 乙时，有
35、9x8x+5000，x5000当 x500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解法 2：图象法，作出y 甲=9x 和 y 乙=8x+5000 的函数图象，如图1124 所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000 千克且小于5000 千克时， y 甲 y 乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000 千克时， y 甲 y 乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000
36、 千克时， y甲 y 乙，即选择乙方案付款最少【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径. 例 15 一次函数y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是 -3x6，相应函数值的取值范围是-5 y-2，则这个函数的解析式为. 分析 本题分两种情况讨论：当k0 时， y 随 x 的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5 ；当 x=6 时， y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得53kb, 26kb, 11k,3函数解析式为y=-x-4 3b4,当 k O 时则随 x 的增大而减小，则有：当x=-3 时，y=-2；当 x=6 时， y=-5，把它们代入y=kx b 中可得12
37、3bb,k,13函数解析式为y=-x-3. 356kb,b3,11x-4，或 y=-x-3. 33 11 答案： y=x-4 或 y=-x-3. 33 函数解析式为y= 【注意】本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面. 中考试题预测例 1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元） 包括两部分： 一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元） ，另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20 时 y=160O；当 x=3O时， y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付
38、多少元？分析 设举办乒乓球比赛的费用y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用b（元）和参加比赛的人数x（人）的函数关系式为y=kx+b （k0 ）. 把 x=20，y=1600；x=30，y=2000 代入函数关系式，求出k，b 的值，进而求出y 与 x 之间的函数关系式，当x=50 时，求出y 的值，再求得y 50 的值即可解： （1）设 y1=b ，y2=kx （k0 ，x 0） ，y=kx+b 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18
39、页 - - - - - - - - - 又当 x=20 时， y=1600；当 x=30 时,y=2000，160020kb,k40, 200030kb,b800.y 与 x 之间的函数关系式为y=40 x+800（ x0）. （2）当 x=50 时， y=40 50+800=2800（元） 每名运动员需支付2800 50=56（元答：每名运动员需支付56 元例 2 已知一次函数y=kx+b ，当 x=-4 时， y 的值为 9；当 x=2 时， y 的值为 -3（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象分析 求函数的解析式，需要两个点或两对x，y 的值， 把它们代入y=
40、kx+b 中，即可求出k在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象解： （1）由题意可知94kb,k2b1.32kb,这个函数的解析式为x=-2x+1. (2) 描点、的图象例 3 如图 1127 所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - （1）
41、求出 h 与 d 之间的函数关系式； （不要求写出自变量d 的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？分析 设 h 与 d 之间的函数关系式是h=kd+b （k0 ）当 d20 时， h=160；当 d=21 时,h=169把这两对d,h 值代人 h=kd+b 得16020kb,k9,16921kb,b20.所以得出h 与 d 之间的函数关系式，当h=196 时，即可求出d 解： （1）设 h 与 d 之间的函数关系式为h=kd+b(k 0)由题中图表可知当d=2O 时,h=16O；当d=21 时， h=169. 把它们代入函数关系式，得16020kb,k9,1692
42、1kb,b20. h 与 d 之间的函数关系式是h=9d-20（2）当 h=196 时，有 196=9d-20d24当某人的身高为196cm 时，一般情况下他的指距是24cm例 4 汽车由重庆驶往相距400 千米的成都，如果汽车的平均速度是100 千米时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间 t（时）的函数关系用图象（如图 1128 所示）表示应为（）分析 本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间 t（时）的函数关系式是s=400-100t，其中自变量t 的取值范围是0t 4，所以有0s400，因此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉D又
43、因为在 S=400-100t 中的 k=-100 0， s随 t 的增大而减小，所以正确答案应该是C答案： C 小结画函数图象时，要注意自变量的取值范围，尤其是对实际问题例 5 已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2， -5） .请你写出一个同时满足（1）和（ 2）的函数关系式：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 分析 这是一个开放性试题，答案是不惟一的，因为点（2，-5）在第
44、四象限，而图象又不经过第二象限， 所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析式设经过第一、二、 四象限的直线解析式为y=kx+b（kO） ，另外的一点为（4，3） ，把这两个点代入解析式中即可求出k， b. 34kb,k4, y=4x-13. 52kb,b13. 答案： y4x-13 【注意】后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析. 例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关如果用a 表示一个人的年龄，用b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=0 8（220-a） （1）正常情况下，在运动时一个16 岁的学生所
45、能承受的每分心跳的最高次数是多少？（2）一个 50 岁的人运动10 秒时心跳的次数为20 次，他有危险吗？分析 （1）只需求出当a=16 时 b 的值即可（2）求出当a=50 时 b 的值，再用b 和 20 60=120（次）相比较即可10 解： （1）当 a=16 时，b=08（220-16） 1632（次） 正常情况下，在运动时一个16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是1632 次（2）当 a=50 时，b=08（220-50）=08 170=136（次） ，表示他最大能承受每分136 次而 20 60=120136，所以他没有危险10 一个 50 岁的人运动10 秒时心跳的次数为2
46、0 次，他没有危险例 7 某市的 A 县和 B县春季育苗，急需化肥分别为90 吨和 60 吨，该市的C 县和 D 县分别储存化肥100 吨和 50吨，全部调配给A 县和 B 县已知C，D 两县运化肥到A，B 两县的运费（元吨）如下表所示（1）设 C 县运到 A 县的化肥为x 吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案分析利用表格来分析C，D 两县运到A，B 两县的化肥情况如下表名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
47、 - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 则总运费 W（元）与x（吨）的函数关系式为W=35x+40（90-x） +30 （100-x） +4560- （100-x） =10 x+4800 自变量 x 的取值范围是40 x 90解： （1）由 C 县运往 A 县的化肥为x 吨，则 C 县运往 B 县的化肥为（100-x）吨D 县运往 A 县的化肥为（90-x）吨， D 县运往 B 县的化肥为（ x-40）吨由题意可知W 35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40） 10 x+4800自变量 x 的取值范围为40 x90
48、总运费 W（元）与x（吨）之间的函数关系式为w1Ox+480O （40 x 9O） （2） 10 0，W 随 x 的增大而增大当 x=40 时，W 最小值 =10 40+4800=5200 （元） 运费最低时， x=40 ，90-x=50 （吨） ， x-40=0（吨） 当总运费最低时，运送方案是：C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县，60 吨运往 B 县，D 县的 50 吨化肥全部运往A 县例 8 2006 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下2 降，图 1129 是某水库的蓄水量V（万米）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题2（1）该水库原蓄
49、水量为多少万米？持续干3 旱 10 天后水库蓄水量为多少万米？3（2）若水库存的蓄水量小于400 万米时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？2分析 由函数图象可知，水库的蓄水量V（万米）与干旱时间t（天）之间的函数关系为一次函数，设一次函数的解析式是V=kt+b （ k，b 是常数，且k0 ）.由图象求得这个函数解析式，进而求出本题（1） （2） （3）问即可3 解：设水库的蓄水量V（万米）与干旱时间t（天）之间的函数关系式是V=kt+b （k，b 是常数，且k=0） 由图象可知，当t=10 时， V=800 ；当 t
50、=30 时， V=400 把它们代入V=kt+b 中，得80010kb,k20,40030kb,b1000. V=-20t+1000 （0t 50） 2（1）当 t=0 时， V=-20 0+1000=1000（万米）；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 当 t=10 时， V=-2010+1000=800 （万米）3该水库原蓄水量为1000 万米，持续干旱10 天后，水库蓄水量为800 3 万