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1、1 2016 年高考数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、 （2016 年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12 D.1【答案】 A 2、 （2016 年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 2 （A）32+31（B）32+31（C ）62+31（D）62+1【答案】 C 3、 （2016
2、年全国 I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 . 若该几何体的体积是283，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 【答案】 A 4、 （2016年全国 I 高考）平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，/ 平面 CB1D1， I平面 ABCD=m， I 平面 ABB1 A1=n，则 m ，n 所成角的正弦值为（A）32（B）22（C）33（D）13【答案】 A 5、 （2016年全国 II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
3、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 3 （A）20 （B）24 （C ）28 （D）32【答案】 C 6、 （2016年全国 III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）1836 5（B）54185（C）90 （D）81 【答案】 B 7、（2016年全国 III高考） 在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为 V的球， 若 ABBC ，6AB，8BC，13AA，则 V的最大值是（A）4 （B）92（
4、C ）6 （D）323【答案】 B 二、填空题1、 （2016 年上海高考）如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面 ABCD 的边长为 3，1BD与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4 【答案】2 22、 （2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_ 【答案】333、 （201
5、6 年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ） ，则该四棱锥的体积为 _m3. 【答案】 2 4、 （2016 年全国 II高考）,是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/ /mn mn，那么. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 5 （2）如果,/ /mn，那么 mn . （3）如果/ /,m，那么/ /m. （4）如果/ / ,/ /mn，那么m与
6、所成的角和n与所成的角相等 . 其中正确的命题有.( 填写所有正确命题的编号）【答案】5、 （2016 年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ） ，则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3. 【答案】 72326、 （2016 年浙江高考）如图，在 ABC中，AB=BC=2 ，ABC=120 . 若平面 ABC 外的点 P和线段 AC上的点 D，满足 PD=DA ，PB=BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 【答案】12三、解答题1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥PABCD中， 平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD
7、. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 6 （1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面 PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM平面 PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【解】面PAD面ABCDAD面PAD面ABCDABAD，AB面ABCDAB面PADPD面PADABPD又PDPAPD面PAB取AD中点为O，连结CO，PO5CDACCOADPAPDPOAD以O为原
8、点，如图建系易知(0 01)P，(11 0)B ， ，(01 0)D， ，(2 0 0)C，则(111)PB， ，(011)PD， ，(2 01)PC， ，( 210)CD， ，OxyzPABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 7 设n为面PDC的法向量，令00(,1)nxy，011,120n PDnn PC，则PB与面PCD夹角有11132sincos,311134n PBn PBn PB假设存在M点使得BM
9、面PCD设AMAP，0, My z由（2）知0,1,0A，0,0,1P，0, 1,1AP，1,1,0B，0, 1, AMyz有0,1,AMAPM1,BMBM面PCD，n为PCD的法向量0BMn即1021=4综上，存在M点，即当14AMAP时，M点即为所求 . 2、 （2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆 O的直径， EF是上底面圆 O的直径，FB是圆台的一条母线 . （I ）已知 G,H分别为 EC ，FB的中点，求证： GH 平面 ABC ；（II ）已知 EF=FB=12AC=2 3，AB=BC. 求二面角FBCA的余弦值 . 【解】 ( ) 连结 FC，取 FC的中点
10、M ，连结HMGM,，因为 GM/EF ，EF在上底面内， GM 不在上底面内，所以 GM/ 上底面，所以 GM/ 平面 ABC ；又因为 MH/B C ， BC平面 ABC ，E F B A C G H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 8 MH平面 ABC ，所以 MH/ 平面 ABC ；所以平面 GHM/ 平面 ABC ，由 GH平面 GHM ，所以 GH/ 平面 ABC ( ) 连结 OB ，BCABOB
11、AO以为 O原点，分别以OOOB,OA,为zy,x,轴，建立空间直角坐标系BCAB,32AC21FBEF，3)(22FOBOBFOO，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3 ,3F(0,，可得平面 FBC中的向量)3 ,(30,-BF，)0,(3232CB, 于是得平面 FBC 的一个法向量为)1 ,3,3(1n，又平面 ABC 的一个法向量为) 1 ,0,0(2n，设二面角A-BC-F为，则7771cos2121nnnn二面角A-BC-F的余弦值为773、 （2016 年上海高考）将边长为1 的正方形11AAO O（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图
12、，AC长为23，11AB 长为3，其中1B与 C 在平面11AAO O的同侧。E F B A C O，O x y z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 9 （1）求三棱锥111CO A B的体积；（2）求异面直线1B C与1AA所成的角的大小。【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r确定1113计算111S后即得 . （2）设过点1的母线与下底面交于点，根据11/，知1C或其补角为直线1C与
13、1所成的角确定C3， C1得出1C4试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r由11的长为3，可知1113111111111113sin24S，111111C13V312Sh（2）设过点1的母线与下底面交于点，则11/，所以1C或其补角为直线1C与1所成的角由C长为23，可知2C3，又1113，所以C3，从而C为等边三角形，得 C1C1AA1B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10 因为1平面C，所以
14、1C在1C中，因为1C2， C1，11，所以1C4，从而直线1C与1所成的角的大小为44、（2016年四川高考）如图， 在四棱锥PABCD中，/ /ADBC，90ADCPAB，12BCCDAD，E为棱AD 的中点，异面直线 PA 与CD 所成的角为90. （I ）在平面 PAB 内找一点 M ，使得直线/ /CM平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角PCDA的大小为45，求直线 PA 与平面PCE 所成角的正弦值 . 【解】 （I ）延长AB，交直线CD于点M，E为AD中点，1=2AEEDAD，1=2BCCDAD，EDBC，/ /ADBC即/ /EDBC，四边形BCDE为平行四边形，/
15、/BECD，ABCDM，MCD，/ /CMBE，BE面PBE，/ /CM面PBE，MAB，AB面PAB，M面PAB故在面PAB上可找到一点M使得/ /CM面PBE. （II ）过A作AFEC交EC于点F，连结PF，过A作AGPF交PF于点G，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11 90PAB，PA与CD所成角为90，PAAB，PACD，=ABCD M，PAABCD，EC面ABCD，PAEC，ECAF且AFAPA
16、，CE面PAF，AG面PAF，AGCE，AGPF且AGAFA，AG面PFC，APF为所求PA与面PCE所成的角，PA面ABCD，=90ADC即ADDC. PDA为二面角PCDA所成的平面角 , 由题意可得=45PDA，而=90PAD, PAAD, BCCD, 四边形BCDE是平行四边形，=90ADM，四边形BCDE是正方形，45BEC，=45AEFBEC，90AFE，2=2AFAE，224tan=4ADAFAPFAPAP，1sin=3APF. 5、 （2016年天津高考）如图，正方形 ABCD 的中心为 O ， 四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD ，点 G为 AB的中点，
17、 AB=BE=2. （I ）求证： EG 平面 ADF ；（II ）求二面角 O-EF-C的正弦值；（III ）设 H为线段 AF上的点，且 AH=23HF ，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 12 【解析】 （）证明：找到AD中点I，连结FI，矩形OBEF, EFOBG、I是中点，GI是ABD的中位线GIBD且12GIBDO是正方形ABCD中心12OBBDEFGI
18、且EFGI=四边形EFIG是平行四边形EGFIFI面ADFEG面ADF（）OEFC正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系OxyzIzyxABCDEFGHO020B，200C， ，022E，002F， ，设面CEF的法向量1nxyz， ，1102020202220nEFxyzynCFxyzxz， ， ， ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 13 得：201xyz1201n， ，OC面OEF，面OEF的法向量2100
19、n， ，12121226cos33 1nnnnnn，21263sin133nn，（）23AHHF222 2420205555AHAF， ， ，设Hxyz， ，2 242055AHxyz， ， ，得：325045xyz3 24255BH，12164755cos212235BHnBHnBH n，6、 （2016年全国 I 高考）如图，在以A，B，C ，D ，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD ，90AFD，且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F 都是 60 （I ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；（II ）求二面角 E-BC-A的余弦值名师资料总结 - - -
20、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 14 【解析】ABEF为正方形AFEF90AFDAFDF=DFEFFAF面EFDCAF面ABEF平面ABEF平面EFDC由知60DFECEFABEFAB平面EFDCEF平面EFDCAB平面ABCDAB平面ABCD面ABCD面EFDCCDABCD,CDEF四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，设FDa000020EBa， ，3022022aCaAaa， ，020EBa，3222aBCaa，
21、200ABa， ，设面BEC法向量为mxyz， ，. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 15 00m EBm BC，即11112032022a yaxaya z111301xyz，301m， ，设面ABC法向量为222nxyz，=00n BCn AB. 即22223202220axayazax222034xyz，034n，设二面角EBCA的大小为. 42 19cos1931316m nmn二面角EBCA的余弦值
22、为2 19197、 （2016 年全国 II 高考）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，54AECF，EF交BD于点 H 将DEF沿EF折到D EF 位置，10OD（）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值【解析】证明：54AECF，AECFADCD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 16 EFAC四边形ABCD为菱形，A
23、CBD，EFBD，EFDH，EFD H6AC，3AO；又5AB，AOOB，4OB，1AEOHODAO，3DHD H，222ODOHD H，D HOH又OHEFHI，D H面ABCD建立如图坐标系Hxyz500B， ，130C， ， 003D， ，130A，430ABuu u r， ，133ADuuur， ，060ACuuu r， ，设面ABD法向量1nxyz， ，u r，由1100nABnAD得430330 xyxyz，取345xyz，1345nu r，同理可得面AD C的法向量2301nu u r， ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
24、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 17 1212957 5cos255 210nnn nu r u u ru r u u r，2 95sin258、 （2016年全国 III高考）如图，四棱锥PABC 中，PA地面 ABCD ，ADBC，3ABADAC，4PABC， M 为线段 AD 上一点，2AMMD ， N 为 PC 的中点（I ）证明MN平面 PAB；（II ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 . 设),(zyxn为平面 PMN 的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyx
25、zx，可取) 1 ,2, 0(n，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 18 于是2558|,cos|ANnANnANn. 9、 （2016 年浙江高考）如图 , 在三棱台 ABCDEF 中, 平面 BCFE平面ABC ,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I) 求证： EF 平面 ACFD ；(II)求二面角 B-AD-F的平面角的余弦值 . （II ）方法一：过点 F作FQ，连结Q因为F
26、平面C，所以F，则平面QF，所以Q所以，QF是二面角DF 的平面角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 19 在 RtC中，C3，C2，得3 13FQ13在RtQF中，3 13FQ13，F3，得3cosQF4所以，二面角DF的平面角的余弦值为34名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -