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1、-全等三角形难题集锦(整理)-第 10 页1、（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小. 图1 图22、（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明
2、理由（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明3、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：ABCEDOPQ4、C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论： AD=BE； ； AP=BQ； DE=DP； CP=CQ CPQ为等边三角形共有2对全等三角形 CO平分 CO平分恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）5、D为等腰斜边AB的中点，DMDN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。（1）当绕点D转动时，求证：DE=DF。（2）
3、若AB=2，求四边形DECF的面积。6、如图，是正三角形，BDC是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明7、点C为线段AB上一点，ACM， CBN都是等边三角形，线段AN，MC交于点E，BM，CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。图 图8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在中，AB=AC，P是内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转
4、至AQ，使，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？与存在怎样的数量关系？请说明理由10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同
5、一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE图1图2DCEAB11、两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由12、如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF13、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE14、如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD。求证：（1）BDECDF；（2） 点D在A的平分
6、线上15、如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，（1）若AB=CD，试说明BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。16、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论
7、是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。OPAMNEBCDFACEFBD图图图17、如图1，点M为锐角内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为的费尔马点若点M为的费尔马点，试求此时、的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为的费尔马点试说明这种作法的依据18、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条
8、直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F.（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想.（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N， 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明图1 图219、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.（不需要证明）（1）如图2，若点
9、E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.20、如图1、图2、图3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的
10、位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？21、如图1，在中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成
11、立，请说明理由 图1 （F） B C P A（E）l l P A E B C Q F 图2 l B P A 图3 E F Q C 22、如图所示，在和中，且点，在一条直线上，连接，分别为的中点（1）求证：；（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. CENDABM图CAEMBDN图23、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同
12、学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图324、问题背景，如下命题： 如图1，在正三角形ABC中，N为BC边上任一点，CM为正三角形外角ACK的平分线，若，则AN=NM
13、。 如图2，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点，CM为正方形外角DCK的平分线，若，则AN=NM。 如图3，在正五边形ABCDE中，N为BC边上任一点，CM为正五边形外角DCK的平分线，若，则AN=NM。任务要求：（1）请你证明以上三个命题；（2）请你继续完成下面的探索： 如图4，在正（3）边形ABCDEF中，N为BC边上任一点，CM为正边形外角DCK的平分线，问当ANM等于多少度时，结论AN=NM成立（不要求证明）. 如图5，在梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，N为BC延长线上一点，CM为DCN的平分线，若ANM=ABC，请问AN=NM是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，
14、请说明理由.25、已知AOB=90，AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积27、已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF28、已知BE，CF是的高，且BP=AC，CQ=A
15、B，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE。求证：30、已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长;（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小.31、已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求证：32、以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由AGFCBDE33、用两个全等的等边和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶
16、点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.34、在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系（1）如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之
17、间的数量关系式_；此时=_（2）如图，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_（用x，L表示）35、在等边中， P在延长线上一点，以PA为边作等边，EC延长线交BP于M，连接AM。求证：（1）BP=CE；（2）EMPM=AM.PBACEM36、在等边中，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边
18、BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系37、在等边中，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接，（1）求证：；（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论38、在等腰中，是的中点，过作，且求证：39、在等腰中，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F。求证：ADCBDE40、在等腰中，ACB=90，F是AB的中点，直线l经过点C，
19、分别过点A、B作l的垂线，即，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：ADCCEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想41、四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF。求证：CA是DCF的平分线。42、在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE 43、在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.44、在正方形中，求证：45、在中，将绕点顺时针旋转角得,
20、交于点，分别交、于、两点如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论。ADBECFADBECF46、在中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、。当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F47、在中，A=90，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PEBD，PFAC，E、F为垂足求证：PE+PF=AB48、在中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC
21、，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。49、在中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：（1）AECD；（2）若AC12 cm，求BD的长 50、在中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果AB=AC，BAC=90（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，猜想并证明线段BD，CE之间的位置关系。（2）当点D在
22、线段BC的延长线上时，如图乙，（1）中的结论是否还成立？为什么？51、在中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q。求证：。52、在中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上一点，且DE=DB，求证：53、在中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全
23、等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）54、在中，ABAC，P为AD上任意一点，求证：55、在中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC；判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对
24、全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）56、在中，ADBC， BEAC， D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD。求证：BH=AC57、在中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF58、在中，是中线求证：59、正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。（1）证明：BCGDCE；（2）BHDE（3）BG与CD有何关系？为什么？（4）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。60、直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图3