《全等三角形难题集锦(15页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形难题集锦(15页).doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-全等三角形难题集锦-第 15 页1、（2007年成都）已知：如图，中，45，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连结与相交于点G。 (!)求证：； (2)求证：； (3)与的大小关系如何？试证明你的结论。2.（2012内江）已知为等边三角形，点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F按逆时针排列），使60，连接（1）如图1，当点D在边上时，求证：；（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、之间存在的数量关
2、系3（08河北中考第24题）如图14-1，在中，边在直线l上，且 = 的边也在直线l上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线l向左平移到图14-2的位置时，交于点Q，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线l向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图1、图2、图3，均是等腰直角三角形，90，（1）在图1中，与相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若绕点O顺时针旋
3、转一定角度后，到达图2的位置，请问与还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问与还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图1中，均是等腰直角三角形，90，000，；（2）相等在图2中，0，点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角5（2008河南）（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师
4、布置了一道作业题：“如图，已知在中，P是内部任意一点，将绕A顺时针旋转至，使，连接、，则”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了，从而证得之后，将点P移到等腰三角形之外，原题中的条件不变，发现“”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得；而根据旋转的性质知：，且已知，即可由证得，进而得出的结论解答：证明：（1），即；在和中，（2）仍然成立，理由如下：即；在和中，点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用
5、三角形全等是正确解答本题的关键5（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？与存在怎样的数量关系？请说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角的性质，得，从而得出；（2）成立由，可证明则，从而证出；（3）由，可证得点B在的垂直平分线上，进而证得点O在的垂直平分线上，则直线是的垂直平分线，即解答：解：（1）（或相等）（2）（或成立），理由如下
6、：方法一：由，得，（或），在和中， 方法二：连接同方法一，由，得在， （3）如图，方法一：由，点B与点E重合，得，点B在的垂直平分线上，且，点O在的垂直平分线上直线是的垂直平分线，方法二：延长交于点G，同方法一，在和中， 在和中， ，90点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，求的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长使得，易证（）可得，进而求证可得，再求出90即可解题解答：解：延长使得，在和中，由 90 ，可得（），又，9090，45答：的角度为45点评：本题考查了正方形各内角均为直
7、角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键例2 D为等腰斜边的中点，分别交于点。（1） 当绕点D转动时，求证。（2） 若2，求四边形的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（1）连，根据等腰直角三角形的性质得到平分，45，则45，90，由得90，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论；（2）由，则S，于是四边形的面积，由而2可得1，根据三角形的面积公式易求得S，从而得到四边形的面积解答：解：（1）连，如图，D为等腰斜边的中点，平分，45，45，90，90，（图1）（图2）（图3）
8、在和中，（2），S，四边形的面积，而2，1，四边形的面积1 2 1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明7（西城09年一模）已知4,以为一边作 正方形,使P、D两点落在直线的两侧.(1)如图,当45时,求及的长;(2)当变化,且其
9、它条件不变时,求的最大值,及相应的大小.图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边、上，且时，、之间的数量关系是 ； 此时 ； （）如图2，点M、N边、上，且当时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形和拼成菱形.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与，重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边，的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得
10、到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出即可得出答案；（2）根据已知可以得出，进而求出即可；（3）利用四边形的面积求出即可解答：解：（1）得出结论是：，证明：60，即：，又，60，（2）还成立，证明：60，即，又，60，即 ，（3）证明：，S，四边形的面积；而S1 2 S菱形，1 2 S菱形点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解：（1）. 证明：在和中， 60，60，（）. （2）仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明和8、两个大小不同的
11、等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题图1图2DCEAB分析：（1）此题根据与均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明；（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明 解答：证明：（1）与均为等腰直角三角形，90即，在与中，（2），45又45，90点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得9、 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，求的度数.考点：旋转
12、的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长使得，易证（）可得，进而求证可得，再求出90即可解题解答：解：延长使得，在和中，由 90 ，可得（），又，9090，45答：的角度为45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键7、D为等腰斜边的中点，分别交于点。当绕点D转动时，求证。若2，求四边形的面积。10、如图，已知2，90，求五边形的面积考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长至F，使，可得，连，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求出结论解答：解：延长至F，使，连，90，在与中，在与
13、中，2S21 2 21 2 22=4点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握五、旋转例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，求的度数. 将三角形绕点A顺时针旋转90度，至三角形则又，所以三角形全等于所以又90所以45度 （1）如图1，现有一正方形，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与的延长线、分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断与之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，、之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，、之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明理由如果没有，那么点P在的什么
14、位置时，、才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明可推出（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作于M，于N，证明可推出（3）、不具有（2）中的数量关系当点P在的中点时，才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，理由：证明（）（2）如图2，理由：过点P作于M，于N，则由此可证得（），从而证得（3）、不具有（2）中的数量关系当点P在的中点时，、才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明可推出（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作于M，于N，证明可推出（3）、不具有（2）中的数量关系当点
15、P在的中点时，才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，理由：证明（）（2）如图2，理由：过点P作于M，于N，则由此可证得（），从而证得（3）、不具有（2）中的数量关系当点P在的中点时，、才具有（2）中的数量关系点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形和拼成菱形.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与，重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别
16、与菱形的两边，的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）. 证明：在和中， 60，60，（）. （2）仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明和10、用两个全等的等边三角形和角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与、重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边、相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量、的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边、的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。11已知
17、90，的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与、或它们的反向延长线相交于D、E。当三角形绕点C旋转到与垂直时（如图1），易证：当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。3、如图，正方形的边长为1，G为边上一动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于H。（1）说明：；（2）与有何关系？为什么？（3）将正方形绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。12如图，点M为锐角三角形内任意一点，连接、
18、以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转60得到，连接（1）求证：；（2）若的值最小，则称点M为的费尔马点若点M为的费尔马点，试求此时、的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以的、为一边向外作等边和等边，连接、，设交点为M，则点M即为的费尔马点试说明这种作法的依据考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）结合等边三角形的性质，根据可证；（2）连接，由（1）的结论证明为等边三角形，所以，即，所以当E、N、M、C四点共线时，的值最小，从而可求此时、的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又的费尔马点在线段上，同理也在线段上因此线段与的交点即为的费尔马点解答：解：（1）证明：为等边三角形，60而60，又，（2）连接由（1）知，60，为等边三角形当E、N、M、C四点共线时，的值最小此时，180-120；180-120；360-120（3）由（2）知，的费尔马点在线段上，同理也在线段上因此线段与的交点即为的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大13如图，正方形中，求证：