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1、平行四边形经典 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定1矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）矩形的性质：矩形的对角线；矩形的四个角都是角。矩形具有的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有条，矩形也是中心对称图形，对称中心为的交点。矩形被对角线分成了个等腰三角形。（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是的四边形是矩形；对角线 的平行四边形是矩形。温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角
2、为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）菱形的性质菱形的都相等；菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有 条。（3）菱形的面积菱形的面积=底高，菱形的面积，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。（4）菱形的判定：都相等的四边形是菱形；对角线的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证
3、明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3正方形的性质及判定方法（1）正方形的性质：正方形的四个角都是，四条边都；正方形的两条对角线，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的 是正方形；对角线互相的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用
4、对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。考点2 梯形的概念及判定方法1梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。2等腰梯形的性质与判定性质：（1）等腰梯形中，同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的对角线相等；判定：（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形；（3）有两个腰相等的梯形是等腰梯形。3梯形中常用的辅助线：梯形的辅助线分割后的图形图形示意1.平移
5、一腰将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形2.平移两腰将梯形分割成两个平行四边形和一个三角形3.平移对角线将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形4.作双高将梯形分割成一个矩形形和一个三角形5.延长两腰将梯形分割成两个三角形6.连接一顶点和一腰中点将梯形分割成一个三角形例1题图温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形题，然后再利用这两种图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时同学们要注意搜集或留意辅助线的作法，使它们变成自己的东西。中考热点难点突破例1：如图，菱形中，B60，2，E、F分别是、的中点，连接、，则的周长为（ ）
6、例2题图A B C D3 例2：如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A110 B115 C120 D130一、选择题（每题3分，共30分）BACD第1题图1(09年河北)如图，在菱形中， = 5， =120，则对角线等于（ ）A20 B15 C 10 D52（09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻ABCD边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）ABCD3（09年宁波市）如图，菱形中，对角线、相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接、，则下列叙述正确的是（ ）A和都是等边三角形B四边形和四边形都是菱形C四边形与四边形
7、是位似图形 D四边形和四边形都是等腰梯形DBCANMO第3题图ADEPCBF第4题图CDABE第6题图4.（09年杭州市）如图，在菱形中，110，E，F分别是边和的中点，于点P，则（ ）A35 B45 C50 D555. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形若3，则的长为( )A1 B2 C D ABCDFEOABCD6（09年凉山州）如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）第7题图A B C D7如图，正方形的边长为8，M在上，且2，N是上一动点，则的最小值为（ ）A8 B8 C2 D10 第10题图第8题图 第9题图8已知等腰梯形的中位线的长为6，腰的长
8、为5，则等腰梯形的周长为（ ） A11 B16 C17 D229如图，的周长是28，的周长是22，则的长为( )A6B12C4D810（09年孝感）如图，正方形内有两条相交线段、，M、N、E、F分别在边、上小明认为：若 = ，则；小亮认为: 若，则 = 你认为A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对 11（09年甘肃庆阳）如图，菱形的边长为10cm，则这个菱形的面积= 2第13题图DCAB第12题图第11题图12(09年南充)如图，等腰梯形中，则梯形的周长是 .13（09白银市）如图，四边形是平行四边形，使它为矩形的条件可以是14（09年济宁市）在等腰梯形中，, 3cm, 4cm, B60,
9、 则下底的长为 .15（09江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离则 度第20题图1第15题图ABCADCB第19题图E16.（09年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 17.(09年上海市)在四边形中，对角线与互相平分，交点为在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 18（09年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是19（09年山东青岛市）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不
10、动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 20 (09年陕西省)如图，在梯形中，若10，4，2，则这个梯形的面积是三、解答题（共60分）ODCBA21(本题6分)（09肇庆）如图 ，是菱形，对角线与相交于O， （1）求证：是正三角形； （2）求 的长（结果可保留根号） BACDFM第22题图E22.（09年宜宾）已知：如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F.（1）求证：；（2）若2，求菱形的周长第23题图ADFCEGB23(本题6分)（09襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 （1）求证：四边形是
11、菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？第24题图DCBEAF24(本题6分) (09年湖州)如图：已知在中，为边的中点，过点作，垂足分别为.（1） 求证：；（2）若，求证：四边形是正方形. DEFPBA第25题图C25(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形中，60，且，E、F分别在、的延长线上，且，、交于点P（1）求证：；（2）请你猜测的度数，并证明你的结论26(本题8分)（09年益阳市）如图，在梯形中，60，2cm.(1)求的度数；(2)求下底的长.ABC第26题图D6027(本题10分) 如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重
12、合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于ABCDFEM（1）求证：；（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由；（3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由EA DB CNM28（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60得到，连接、. 求证：； 当M点在何处时，的值最小；当M点在何处时，的值最小，并说明理由； 当的最小值为时，求正方形的边长.28(本题10分)（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平行线于点F，求证：经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M，连接，则，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3