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1、平面几何综合复习【典型例题】：例3、已知：如图在DABC中，AB=AC。延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE求证：CD=2CE分析：（1）要证长线段CD是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD=2CE，可考虑在CD上截取一半，再证明CE等于CD的一半即可。证明：过B点作BF/AC交CD于F，AB=BD且 在中即CE=2EC分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。提示：将CE延长到G，使EG=CE，连结AG，BG，可证明ACGBDC，从而得到CG=CD，因而有CD=2CE。例4、已知：
2、如图，在ABC中，D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P、Q求证：AP=AQ分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP=AQ，就要证分别是BE、CD中点，且BD=CE，又BC是BDC和BCE的公共边，取BC的中点F，再连MF、NF，就可以通过三角形中位线定理将已知条件以和要证明的等量代换到FMN中，从而可证得AP=AQ。证明：取BC的中点F，连结FM，FNM，N分别是 的中点并且MF/CE，FN/BD，CE=BD，FM=FNFMQ=FNPFMQ=AQM（两
3、直线平行，内错角相等）FNP=APN，APN=AQMAP=AQ例5、已知：D ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，BD=CE，DE交BC于F求证：DE=EF分析：DF和EF分别在DBF和ECF中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作DG/AC交BC于G点，易证DGF ECF，所以DF=EF，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。例6、已知RtACB中，ACB=90，CDAB，BE平分ABC，交CD于E，EF/AB交AC于F求证：CE=AF分析：要证线段CE=AF，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E点作EGBC于G，所以EG=DE，这种填加辅助线的方法属于转
4、对称型，再作FHAB于H，利用平行线间距离相等，可易证得HAF GCE，从而证得CE=AF，另解还可以过E点作KM/AC交AB于K，交BC于M，证MCE DKE即可例7、已知：ABC中，ACB=90，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，CE的延长线交AB于F，FG/AC交AD于G求证：FB=2CG分析：要证FB=2CG，只要证CG=BF，由于CG和BF分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG和FB之间的联系，分析题目条件可知CEGAEF，所以AF=CG，只要证AF=FB即可证明：作DH/CF交AB于H，RtADC中，ACD=90，E是斜边AD中点，CE=A
5、E，1=2AC/FG，1=3，2=4，3=4EG=EF在AEF中和CEG中，有AEF CEG中，AF=CGDH/CF，E为AD中点，AF=FHDH/CF，D为BC中点，FH=HBAF=FH=HB，AF=FBCG=AF，CG=FB，即FB=2CG例8、设ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5，求：线段EF的长？分析：这是一道几何中的计算题要求EF的长，首先发现它在Rt 它在RtDEAF中，这时利用勾股定理可求出，连结AD后可证ADECDF解；连结AD，则在ADE和CDF中，AD=CD， 又AF+FC=AC=AB=
6、AE+BE=5+12=17即EF的长为13例9、已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作直线交BD于E，交CD于F，交BC的延长线于G，若H是FG的中点求证：ECCH分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明ECH是90即可，此题可先间接证出4+5=90，从而推出=90，通过DABECBE，和RtFCG的斜边中线CH可证得证明：简述：在正方形ABCD中， AB=BC，BE=BEDABE CBE3=4，又H是RtFCG斜边上的中点例10、已知：如图在平行四边形ABCD中，AE=CF，BM=DN求证：四边形EMFN是平行四边形分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简
7、述两种证法。证法一：ABCD是平行四边形AD/BC，AD=BC DE=BF,DM=BNME/NFEMFN是平行四边形证法二：证（同证法一）ME=NF同理可证EN=FMEMFN是平行四边形。例11、如图：等腰梯形ABCD中，AD/BC，对角线AC和BD相交于E，已知，ABD=60，BD=12，且BEED=51，S梯形ABCD=，求这个梯形的周长？分析：由BD=12，且BEED=51，可得BE=10，ED=2，易证，故为等边三角，AD=DE=2，同理BC=10，作AFBC于F，DGBC于G，则四边形AFGD是矩形，由梯形面积公式可求出=，再由勾股定理求出AB=CD =故梯形周长为12+4解：梯形A
8、BCD为等腰梯形，AD=AD为等边三角形同理可求：BC=10作AFBC于F，DGBC于G，则四边形AFGD为矩形同理：DC=梯形周长=AD+BC+AB+CD=2+10+=12+此题综合性较强，涉和到的知识点很多，但证明的关键是证出是等边三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。【综合练习】：一、填空题：（1）中，AB=AC，DE是AB的中垂线，的周长为14厘米，BC=5厘米，那么AB的长为 厘米。（2）若的三个外角的度数之比为345，则最大边AB与最小边BC关系是 ；而三条边之间的关系是 ；（3）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等 度。（4）如图在Rt中， BD平分交AC于D
9、，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1厘米，则AC= 厘米。（5）把长为8cm的长方形纸片对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则找开后的梯形中位线长为 cm。（6）若等腰三角形的底角为15，腰长为2，则腰上的高为 。（7）若等腰梯形的周长80cm，中位线与腰长相等，则它的中位线等于 cm。（8）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果DAOB的面积是3，那么平行四边形ABCD的面积是 。（9）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是 。（10）菱形中有一个内角是60，菱形的边长为6，则菱形两条对角线的长为 。三、选择题：（1）如果等边三角形的边长为3，那么连结各
10、边中点所成的三角形的周长为（ ）A9B6C3D （2）在ABC中，已知b=4，c=5, A=30,则ABC的面积是（ ）A10BC5D （3）如果一个多边形的内角和等于720，那么这个多边形是（ ）A四边形B五边形C六边形D七边形（4）下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A平行四边形B正方形C等边三角形D直角梯形（5）已知：平行四边形ABCD的周长为24，ABAD=12，那么AB的长是（ ）A4B6C8D16（6）设F为正方形ABCD的边AC上一点，CECF交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64， CEF面积为50，则CBE的面积为（ ）A20B24C25D26（
11、7）在 ABC中，若，AB=, AC=3，则SABCD=（ ）A9BC D（8）如图在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若DAC=20，ACB=66，则FEG=（ ）A47B46C41D23（9）已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m,一个底角为45，这个梯形的周长是（ ）A14BCD（10）已知正方形的面积为8cm2,则正方形的对角线长为（ ）ABC4cm D2cm【答案】：一、 （1）9（2）AB=2BC，（3）30（4）3（5）5 （6）1（7）20（8）12（9）5（10）6， 二、 （1）D（2）C（3）C（4）C（5）A （6）B（7）B
12、（8）D（9）D（10）C【综合练习二】：证明与计算：1、已知：等腰三角形ABC的顶角A为120，底边长为20cm，求：腰长2、已知；如图，中，AB=AC，D，E，F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE，求证：是等腰三角形3、已知：如图，四边形ABCD为矩形四边形ABDE为等腰梯形，AE/BD，求证：4、如图：平行四边形ABCD中，BECD，BFAD，垂足分别为E、F，CE=2，DF=1，求平行四边形ABCD的面积。5、已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，CD，AC，BD 的中点，并且E，F，G，H不在同一直线上，求证：EF和GH互相平分6、如图，已知：在等边三角形ABC中
13、，延长BC到M，使CM=BC，ADBC于点D，E是AM的中点，EF/MC交AC于点F求证：四边形DCEF是菱形7、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，在ABDC上各取一F，G，使BF=CG，E是AD的中点求证：8、已知：在平行四边形ABCD中，AE=CF，M，N分别是DE，BF的中点求证：四边形ENFM是平行四边形9、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于K，求证：AKAB的值10、已知：如图，周长为40cm的等腰梯形ABCD中，AD/BC，梯形中位线EF=AB，梯形的高AH=6cm,求：梯形ABCD的面积11、已知：如图，
14、正方形ABCD，点E，F分别在BC，DC上，且求证：BE+DF=EF12、已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD交于O点，的平分线交AC于E，交DC于F，求证：OE=13、已知：在平行四边形ABCD中，EF/AC交AB于E，BC于F，求证：【答案】：1、；2、利用三角形外角定理证明：再证 即可；3、利用矩形，等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件；4、可以利用分别延长CD和BF相交后构成Rt，求出一个 角，再通过 和 求出CD=4，BC=6，就可以利用平行四边形面积公式得到其结果为5、提示：连结EG、GF、FH、HE，通三角形中位线定理再根据平行四边形的判定定理证出四边形EGFH是平行
15、四边形，即可6、提示：可根据三角形中位线定理，证出：CE/AB，EF/MC可得四边形，DCEF是平行四边形，再证出DF=DC，可证出四边形DCEF是菱形7、提示：很容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出，从而证得8、可利用三角形全等证出FN=ME，再通过证明FB/DE，得到FN/ME即可证得9、解：10、提示：2EF=AD+BC 2EF=AB+DC而AB+BC+CD+DA=404EF=40，得EF=10，又AH=6梯形ABCD的面积S=EF，AH=106=60（cm）211、分析提示：证明线段的各差倍分问题，要将具体问题具体分析创造出它们之间的有机联系，使之为一个整体，该题BE与DF分别在正方形的两个不同的边上，因此想办法把它们放在一起，再与EF进行比较。证：延长CB到G，使BG=DF，连结AG，通过证，得到，再证，得到12、分析：观察图形，在中，DF是底边，O是BD中点，若E也是BF中点，那么可得但显然E不是BF中点，所以我们作出这个三角形的中位线，再证明OE就等于中位线长，作OG/DF，那么OG=DF，只需证OG=OE，看和，因为，但，所以由可推出，这样就得到了OG=OE，从而证明。证明：过点O作OG/DC，交BF于G，在正方形ABCD中，13、提示：连结AF、CE平行在四边形ABCD中，12 / 12