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1、关于三角形内外角平分线性质定理PPT现在学习的是第1页，共22页 本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理” 的题目直接围绕定理展开，难度不大.现在学习的是第2页，共22页平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 定理的基本图形：如图，因为ADBECF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF；
2、 BC：AC=EF：DF 也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF 现在学习的是第3页，共22页推论的基本图形:平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线），所得的对应线段成比例 现在学习的是第4页，共22页现在学习的是第5页，共22页例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.(文字语言)已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(符号语言).ADAEDEABACBCCBADEF(图形语言)分析：由平行线分线段成比例定理的推论可直接得到AD
3、:AB=AE:AC.为了证明AE:AC=DE:BC，需要构造一组平行线，使AE、AC、DE、BC成为由这组平行线截得的线段.故作EF/AB.证明：过点E作EF/AB,交BC于点F,DE/BC, AD:AB=AE:AC.EF/AB, BF:BC=AE:AC.且四边形DEFB为平行四边形.DE=BF. DE:BC=AE:AC.ADAEDEABACBC现在学习的是第6页，共22页CBADEG已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：.ADAEDEABACBC(图形语言)ADDEABBC法2：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理.故作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.证明:过点C作
4、CG/AB,且与DE的延长线交于点G.DE/BC, AD:AB=AE:ACCG/AB, DE:DG=AE:AC四边形DEFB为平行四边形， DG=BC.ADDEABDG.ADAEDEABACBC现在学习的是第7页，共22页例1：证明：FDEDFAEDC如图， 是平行四边形ABCD边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：ABCD四边形为平行四边形CDABADBC，DEEFAEEB（平行于三角形一边的直线截其他两边， 所得的对应线段成比例）同理可得 :EFDFEBDCDEDFAEDC现在学习的是第8页，共22页例2：1,ABCAD,B ,2BACF.:AF=CFDEEEAEE
5、如图 在中， 为中线上的一点，连结延长交于点 求证证明：DHAC,BFH作交于点DHBDCFBC（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。） DBC是的中点12DHBDCFBC12DEAE12DHDEAFAE同理可得：DHDHAFCFAFCF现在学习的是第9页，共22页例3111ABDCOE如图，已知：AB CD,AC,BD交于O,OEAB交BC于E.求证：证明：OEAB(1)OECEABBCOEDC(2)OEBEDCBC121OEOECEBEBCABDCBCBCBC（）（ ）得：111ABCDOE现在学习的是第10页，共22页三角形内角平分线
6、定理：ABCDABCADBACABBDACCD在中，若为的平分线，则：三角形外角平分线定理：ABCDEABCADACAE在中，为的外角的平分线，ABBDACCD则：现在学习的是第11页，共22页现在学习的是第12页，共22页三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。已知：如图8-4甲所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC
7、; BAD=AEC；（两线平行，同位角相等） CAD=ACE；（两线平行，内错角相等） BAD=CAD；（已知） AEC=ACE；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。结论1：该证法具有普遍的意义。现在学习的是第13页，共22页思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-4乙所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F； BAD=CAD；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/SDAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/A
8、C=BD/DC现在学习的是第14页，共22页 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？ 现在学习的是第15页，共22页三角形外角平分线定理：三角形三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。线外分对边之比。 三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例. 现在学习的是第16页，共22页已知：如图8-5甲所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的
9、平分线。求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CEDA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC DAF=CEA；（两线平行，同位角相等） DAC=ECA；（两线平行，内错角相等） DAF=DAC；（已知） CEA=ECA；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。结论1：该证法具有普遍的意义。角度看问题的方法了吗？现在学习的是第17页，共22页思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长
10、线于F； DAC=DAF；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换现在学习的是第18页，共22页内角平分线性质定理证明证明：11,sin22ABDABChSBD hAB ADBAD设的高为则：11sin22DACSCD hDA ACDACsinsi
11、nABDDACSBD hAB ADBADSDC hAC ADDACADBACBACDAC 为的平分线ABBDACDCABDC现在学习的是第19页，共22页外角平分线性质定理证明证明：过C作AD的平行线交AB于点E。 BDCDABAE，1AEC CADACE 1CAD AECACE AEAC BDCDABAC 现在学习的是第20页，共22页1.AB=5cmAC=4cmBC=7cmBD=_在 ABC中,AD是 ABC的平分线，则359.ABCADABCAB-AC=5, BD-CD=3, DC=8AB=_2在中，是的平分线，则5533.,90 ,12,5,1,_3Rt ABCBABBCDEACEADDABDEAC中于在边上 且则53现在学习的是第21页，共22页感谢大家观看现在学习的是第22页，共22页