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1、关于一元微积分A求导法则现在学习的是第1页，共27页一、函数的和、差、积、商的 求导法则定理定理1并且处也可导在点除分母不为零外们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(,)()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu现在学习的是第2页，共27页推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf;),( )()2(为为常常数数CxfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinn
2、niixfxfxfxfxfxfxfxfxf现在学习的是第3页，共27页例例1 1322sinln2.yxxx求的导数例例2 2sinln.yxx求的导数下面看一些例子下面看一些例子例例3 3.cot的的导导数数求求函函数数xy 例例4 4.csc 的的导导数数求求函函数数xy 现在学习的是第4页，共27页例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 现在学习的是第5页，共27页,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0
3、 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf现在学习的是第6页，共27页二、反函数的求导法则定理定理2( )( )0,( ),1d1( ),.d( )ddyxxyIyyf xIyfxxyxy如果函数在某区间 内单调、可导且那末它的反函数在对应区间内也可导 且有 即 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.现在学习的是第7页，共27页例例6 6.cotarccos的的导导数数和和求求函函数数xyxyarc 现在学习的是第8页，共27页例例7 7.log的导数的导数求函数求函数xya , 0
4、ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 现在学习的是第9页，共27页三、复合函数的求导法则定理定理3000000000( ),( )(), ( ),()().x xu ux xuxxyf uuxyfxxdydyduf uxdxdudx如果函数在点可导而在点可导 则复合函数在点可导 且其导数为即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(俗
5、称链式法则俗称链式法则) )( the rule for differentiation of a composite function )现在学习的是第10页，共27页证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 现在学习的是第11页，共27页推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.dddddddd)(xvvuuyxyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数例例8 8.sinln的
6、导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot 现在学习的是第12页，共27页例例9 9.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10dd292 xxxyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1010.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a现在学习的是第13页，共27页例例1111.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31
7、)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 现在学习的是第14页，共27页例例1313 2d,.dyf xyf xx设可导，且求例例14142dsin,.dyyfxx求现在学习的是第15页，共27页四、基本求导法则与求导公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(
8、cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 现在学习的是第16页，共27页2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 现在学习的是第17页，共27页3.反函数的求导法则反函数的求导法则).()()()()(),(xufxydx
9、dududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.4. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则.)(1)(,)()(,0)()(1yxfIfIxfyyfIyfxyxy且有内也可导区间在对应那末它的反函数且内单调、可导在某区间设函数现在学习的是第18页，共27页练练 习习 题题 现在学习的是第19页，共27页练练 习习 题题 一一现在学习的是第20页，共27页四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .现在学习的是第21页，共27页练习题答案练习题答案现在学习的是第22页，共27页现在学习的是第23页，共27页练练 习习 题题 二二现在学习的是第24页，共27页现在学习的是第25页，共27页练习题答案练习题答案现在学习的是第26页，共27页感谢大家观看现在学习的是第27页，共27页