二重积分的计算 (2).ppt

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1、关于二重积分的计算 (2)现在学习的是第1页，共83页一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体：曲顶柱体：.,0),(),(,这种立体叫做曲顶柱体这种立体叫做曲顶柱体为顶为顶上连续）上连续）且在且在（以曲面以曲面的柱面为侧面的柱面为侧面轴轴母线平行于母线平行于的边界曲线为准线的边界曲线为准线以以为底为底面上的有界闭区域面上的有界闭区域它是以它是以设有一立体设有一立体DyxfyxfzzDDxOy 现在学习的是第2页，共83页柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学

2、习的是第3页，共83页演示文稿演示文稿1.ppt播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求分割、近似、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第4页，共83页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学习的是第5页，共83页2。直角坐标系下的积分微元 jkyx 我们利用直角坐我们利用

3、直角坐标网分割标网分割D D让分割充分细，取让分割充分细，取D D的被坐标网割出的一的被坐标网割出的一个典型子区域个典型子区域，设它是如图的矩形，设它是如图的矩形，其面积为其面积为 ，其中，其中jkyx 现在学习的是第6页，共83页)(d),(DCfyxfD 其其中中的的一一般般方方法法计计算算二二重重积积分分 先将二重积分化为二次积分，然后先后计算先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值两次定积分求得二重积分的值.现在学习的是第7页，共83页如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：, )()(| ),(21bxaxyxyxD 其中函数其中函数 、 在区间在区

4、间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域型区域则则 D 称为称为 x型型 区域区域 .)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy x型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界轴的直线与区域边界相交不多于两个交点相交不多于两个交点.现在学习的是第8页，共83页xbad 设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为 bxaxyxyxD ),()(),(21 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 DyxfV d),(yyxfxAxxd),()()(

5、)(000201 截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21 baxxAd)(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf 现在学习的是第9页，共83页如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：, )()(| ),(21dycyxyyxD 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1y )(2y ,dc2、y型区域型区域则则 D 称为称为 y型型 区域区域 .)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx Dy型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于

6、穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不多于两个界相交不多于两个交点交点.现在学习的是第10页，共83页.d),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf yydcd dycyxyyxD ),()(),(21 同样同样, , 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 DyxfV d),(xyxfyyd),()()(21 xyxfyyd),()()(21 dcydydcxo)(2yx)(1yx现在学习的是第11页，共83页例例1 1.1,dd轴所围轴所围及及由由其中其中计算计算xxxyDyxxyD 解解 将将 D 看作看作

7、x 型区域型区域, , 则则D=(x , y)| 0 y x ，0 x 1 ,xy11xy ox 100ddddxDyxyxyxxy 103d21xx81 10481 x现在学习的是第12页，共83页例例1 1.1,dd轴所围轴所围及及由由其中其中计算计算xxxyDyxxyD 解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域, , 则则D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , xy11xy oy 101ddddyDxxyyyxxy 103d)(21yyy81 1042412121 yy现在学习的是第13页，共83页如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为 x型型 区域又可表示为区域又

8、可表示为 y型型 区域区域 ，且，且 f(x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有： Dbaxxyyxfxyxf)()(21d),(dd),( .d),(d)()(21 dcyyxyxfy 为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, ,采用哪一种次序积分采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构通常取决于被积函数的结构. 必要时还可以必要时还可以交换积分次序交换积分次序. 现在学习的是第14页，共83页.1,0,ddsin22所围所围由由其中其中计算计算例例 xxyyDyxxyyD解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域 , , 则则D=(x , y)| y x 1 ，0 y

9、 1 , 1120dsindyyyxyx 原原式式 102dcoscosyyyyy102cossinsin21 yyyy.1sin211cos1 xy11xy oy现在学习的是第15页，共83页.,ddsin2所围所围由由其中其中练习：计算练习：计算xyxyDyxyyD 现在学习的是第16页，共83页3、一般情形、一般情形如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区域区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个分割为若干个x型型或或y型型区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个小区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个

10、小区域上的积分之和就是区域上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.oxy1D2D3D现在学习的是第17页，共83页计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何的几何形状确定的，因此计算二重积分应先形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域画出积分区域 D 的图形

11、的图形.2) 第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二次积分，而第二次积分中的上、下限一定是中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于上限，且下限要小于上限.3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单且区域的划分要尽量地简单.现在学习的是第18页，共83页例例 3 3 求求 Dxdyxyd，其中，其中 D 是由抛物线是由抛物线xy 2和和直线直线 2 xy所围平面闭区域所围平面闭区域. 解解),2 , 4( ,)1, 1(22 xyxyDxy22 xy214oyxy将将 D 看作看作 y 型区

12、域型区域, , 则则,21,2| ),(2 yyxyyxD2221d dddyyDxy x yyxy x 21523d212221yyyyy两曲线两曲线的交点的交点 12612344216234 yyyy.845 现在学习的是第19页，共83页D例例4 4解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域, , 则则围成围成由由其中其中计算计算2,1,.d22 xxyxyDyxD xxDyyxxyx1222122ddd 213d)(xxx.49 ,21,1| ),( xxyxyxD21242141 xx现在学习的是第20页，共83页例例 5 求求 Dyyxexdd22，其其中中 D 是是以以),1 ,

13、 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. yeyd2无法用初等函数表示无法用初等函数表示 解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dyyxexdd22 yyxexy0210dd2yyeyd31032 2102d62yyey ).21(61e ,10,0| ),( yyxyxD注意：正确选择积分次序相当重要注意：正确选择积分次序相当重要 . 现在学习的是第21页，共83页xy 1例例 6 6 改改变变积积分分 xyyxfx1010d),(d的的次次序序. 原式原式 yxyxfy1010d),(d. 解解积分区域如图积分区域如图如何变换积分次序：将给定的二次积分化为

14、二重积如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分.如何变换积分次序：根据所给积分写出如何变换积分次序：根据所给积分写出 D 的边界曲线，的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分分.现在学习的是第22页，共83页xy 222xxy 例例 7 7 改改变变积积分分 xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2的的次次序序. 原原式式 102112d),(dyyxyxfy. 解解积分区域如图积分区域如图现在学习的是第2

15、3页，共83页例例 8 8 改变积分改变积分)0(d),(d20222 ayyxfxaaxxax 的次序的次序. axy2 解解原式原式 aayaaxyxfy0222d),(d.d),(d2222 aaaayxyxfy22xaxy 22yaax a2aa2a ayaaayxyxfy02222d),(d现在学习的是第24页，共83页 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211 xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 2 22280:22xxyD21DDD 将将 :D视为视为y 型区域型区域 ,

16、则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dy练习：练习： 交换下列积分顺序交换下列积分顺序现在学习的是第25页，共83页例例 9 9 计计算算积积分分 yxyxeyI212141dd yyxyxeydd121. 解解 xexyd不不能能用用初初等等函函数数表表示示 先先改改变变积积分分次次序序.2xy xy 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.现在学习的是第26页，共83页例例 9 9 计计算算积积分分 yxyxeyI212141dd yyxyxeydd121. 解解 121d)(xee

17、xx.2183ee 2xy xy xxxyyexI221dd1说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.练习练习: 计算计算 4 2 2 2 1 d2indd2indxxxyyxsxyyxsx . ,121,| ),(2 xxyxyxD1212)1(21 xexex现在学习的是第27页，共83页 当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数大或取小函数 (max 或或 min ) 等特殊函数时，如何等特殊函数时，如何计算二重积分的值？计算二重积分的值？ 一般是将积分区域适当分块，使被积函数在

18、各一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算.现在学习的是第28页，共83页例例1010解解. 10, 11:.dd|2 yxDyxxyD其中其中计算计算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 321dd)(dd)(dd|222DDDDyxxyyxyxyxxy 1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511 现在学习的是第29页，共83页 22max(,),( , )|01,01 .xyDedxdy Dx yxy 练练习习：计计算算重重积积分分现在学习的是第30页，共83页小结：

19、用直角坐标小结：用直角坐标计算二重积分计算二重积分.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf .d),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf x型型y型型确定积分次序时要注意确定积分次序时要注意: :1 1、考虑积分区域的特点，分块越少越好、考虑积分区域的特点，分块越少越好 . .2 2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件并能为第二次积分的计算创造有利条件. .现在学习的是第31页，共83页利用积分域和被积函数的对称性利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分计算二重积分 Dy

20、xyxfIDyxfdd),(,),(记记上上连连续续在在设设那那么么轴轴对对称称关关于于如如果果,)1(yD.0,),(),(,),() i ( IyxfyxfDyx时时当当对对.0|),(.d),(2,),(),(,),()ii(11 xDyxDyxfIyxfyxfDyxD其其中中：时时当当对对 现在学习的是第32页，共83页那那么么轴轴对对称称关关于于如如果果,)2(xD.0,),(),(,),() i ( IyxfyxfDyx时时当当对对.0|),(.d),(2,),(),(,),()ii(22 yDyxDyxfIyxfyxfDyxD其其中中：时时当当对对 现在学习的是第33页，共83页

21、那那么么关关于于原原点点对对称称如如果果,)3(D.0,),(),(,),() i ( IyxfyxfDyx时时当当对对.d),(2d),(2,),(),(,),()ii(21 DDyxfyxfIyxfyxfDyx 时时当当对对现在学习的是第34页，共83页 (4),DDDyxfx y dxdyfy x dxdy 如如果果 关关于于直直线线对对称称, ,那那么么 现在学习的是第35页，共83页0)(;dd)sincos(4)(;dd2)(;ddsincos2)()(dd)sincos()1, 1()1 , 1(),1 , 1(11111DyxyxxyCyxxyByxyxAyxyxxyDDxOy

22、DDDDD 则则在第一象限部分，在第一象限部分，是是为顶点的三角形域，为顶点的三角形域，和和平面上以平面上以是是：设：设例例A现在学习的是第36页，共83页.d)223(22222 ayxyxx 计计算算例例,0d)23( Dyx Dyx )d(2122.2424aa 原式原式,2d22aD ,| ),(:222ayxyxD 记记解解 Dx d2 Dy d2,44a 现在学习的是第37页，共83页AoDiiiiiiiiiiiii 2221)(21iiii )2(21iiiii 2)(,iii .dd)sin,cos(dd),( DDfyxyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算

23、二重积分,dd ,ddd 现在学习的是第38页，共83页一、重积分的换元积分法 定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数 yxvvyxuu, 把把D映射为映射为uv平面的区域平面的区域D，其逆变换记成，其逆变换记成 vuyyvuxx, 又设又设 行列式行列式 Jacobi 0,0,vuyxyxvu或或则则 dudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfDD, 现在学习的是第39页，共83页 sin,cos yx例例1 f(x，y)在闭区域在闭区域Dxy连续，则极坐标变换连续，则极坐标变换 ,cossin,sincosxxx yu vyy 它把它把 变成变成 ， 行

24、列式行列式xyDDJacobi故故 ddfdxdyyxfDDxy sin,cos,现在学习的是第40页，共83页AoDd d d .dd)sin,cos(dd),( DDfyxyxf 三、利用极坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分,dd d d cossinxy 现在学习的是第41页，共83页 ADo二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1、极点、极点O在在D的外部的外部, ).()(21 区域特征如图区域特征如图 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21 f)(1)(2现在学习的是第42页，共83页区域特征如图区域特征如图, ).()(

25、21 AoD)(2)(1 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21 f现在学习的是第43页，共83页AoD)(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 2、极点、极点O在在D的边界上的边界上 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)(0 f现在学习的是第44页，共83页极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.dd D 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 DoA)(,20 3、极点、极点O在在D的内部的内部 Df dd)sin,cos(.d)s

26、in,cos(d)(020 f d)(21202 现在学习的是第45页，共83页思考思考: : 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点, , 试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么? ?;0 )( Doyx(1)(1)(2)(2).22 Doyx)( 现在学习的是第46页，共83页.)(, )(),(, )(2222分时用极坐标分时用极坐标的一部的一部或积分区域为圆域或圆或积分区域为圆域或圆为为一般情况下，被积函数一般情况下，被积函数xyfyxfxyfyxf DxyxDyxI2:,d12222 ：计算：计算例例xyO12cos20 ,22| ),(

27、: D解解 22cos202dd 原式原式932 22dcos383 现在学习的是第47页，共83页.0,0,1,4,darctan 22222围成围成由由其中其中求求例例 xxyyyxyxDxyID 210dd4 I2643 ,21 ,40| ),(: D解解yx21Oxy 现在学习的是第48页，共83页xyxDyxxyD21:,dd322 其中其中：求：求例例 3432cos21ddtan 原式原式法二法二:积分区域关于积分区域关于 x 轴对称轴对称,为奇函数为奇函数关于关于 yxy0 原式原式0 ,cos21,3432| ),(: D解解)23,21( A)23,21( ByxO 现在学

28、习的是第49页，共83页例例 4 4 写出积分写出积分 Dyxyxfdd),(的极坐标二次积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域形式，其中积分区域 D 由由 y = x , x = 1 及及 x 轴轴所所围成围成. 解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosyx所所以以直直线线 y= x 的的方方程程为为 4 , 直线直线 x = 1 的方程为的方程为 seccos1 , Dyxyxfdd),(.d)sin,cos(d40sec0 fxy11xy o现在学习的是第50页，共83页例例 5 5 计算计算yxyxDdd)(22 ，其，其 D 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线

29、yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 解解32 61 sin4 sin2 yxyxDdd)(22 36sin4sin22dd ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy,sin2sin2,36| ),( D现在学习的是第51页，共83页例例 6 6 计算二重积分计算二重积分 Dyxyxyxdd)sin(2222 , 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Dyxyxyxdd)sin(2222 210

30、dsind42 . 4 14DD 1D 1dd)sin(42222Dyxyxyx 现在学习的是第52页，共83页例例 7 7 计算二重积分计算二重积分 Dyxyxdd|4-|22, 其中积分区域为其中积分区域为 16| ),(22 yxyxD. yx42O1D2D Dyxyxdd|4|22 21dd)4(dd)4(2222DDyxyxyxyx 4222020220d)4(dd)4(d 44368 解解现在学习的是第53页，共83页例例 8 8 计算计算yxeDyxdd22 ，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. 解解在极坐

31、标系下在极坐标系下yxeDyxdd22 ae020dd2 ae02212 ).1(2ae 2xe 由于由于 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法用故本题无法用直角坐标计算直角坐标计算. .,20,0| ),( aD现在学习的是第54页，共83页例例 求求广广义义积积分分 0d2xex. 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe1D2DSS1D2DRR2 122ddDyxyxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe利用例利用例7 7可得到一个在概

32、率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02 xex现在学习的是第55页，共83页 RyRxyexe00dd22;)d(202 Rxxe Re00dd22 );1(42Re );1(422Re SyxyxeIdd22又又 122dd1DyxyxeI同理同理 222dd2DyxyxeI现在学习的是第56页，共83页当当 R时时, ,41 I,42 I故故当当 R时时, ,4 I即即 20)d(2xex4 , 所求广义积分所求广义积分 0d2xex2 . ,21III );1(4)d()1(4222220RRxRexee 现在学习的

33、是第57页，共83页例例 9 9 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 a ,222aayx 1D现在学习的是第58页，共83页 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Dyxdd 1dd4Dyx 2cos20dd46aa).33(2 a aa 2cos2由由现在学习的是第59页，共83页二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、

34、小结三、小结.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf .d),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf y型型x型型（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）现在学习的是第60页，共83页二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） Df dd)sin,cos( .d)sin,cos(d)()(21 f.d)sin,cos(d)(0 f.d)sin,cos(d)(020 f现在学习的是第61页，共83页计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分次

35、序确定积分次序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( (可利用对称性可利用对称性) )现在学习的是第62页，共83页计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分次序确定积分次序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( (可利用对称性可利用对称性) )现在学习的是第63页，共83页例例

36、 10 设设)(tf在在), 0 上上连连续续且且满满足足方方程程， yxyxfetftyxtdd)()(2222422214 ，求求)(tf . 现在学习的是第64页，共83页三、二重积分的应用三、二重积分的应用曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为： DyxyxfVdd),(2求非均匀薄片的质量求非均匀薄片的质量现在学习的是第65页，共83页利用二重积分可以计算空间立体的体积利用二重积分可以计算空间立体的体积.例例1 1 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积. .xyzRRo解解: : 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用

37、对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为222Rzx 22xRz 00:),(22RxxRyDyx222Ryx222RzxD现在学习的是第66页，共83页则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R xxRRd8022 现在学习的是第67页，共83页22224azyx 被圆柱面被圆柱面xayx222 )0( a所截得的所截得的解解: : 设设由对称性可知由对称性可知,20,cos20: aD DaV dd4422 20d4 cos2022d4aa d)sin1(3322033 a)322(3323

38、aoxyza2例例2 求球体求球体( (含在柱面内的含在柱面内的) )立体的体积立体的体积. .现在学习的是第68页，共83页设设)(xf在在 1 , 0上连续，并设上连续，并设Axxf 10d)(， 求求 110d)()(dxyyfxfx. 思考题思考题1现在学习的是第69页，共83页 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf现在学习的是第70页，共83页故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf0

39、10)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 现在学习的是第71页，共83页 交交换换积积分分次次序序: ).0(d),(dcos022 afIa 思考题思考题2现在学习的是第72页，共83页,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 现在学习的是第73页，共83页一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是

40、顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题现在学习的是第74页，共83页 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为

41、_. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .现在学习的是第75页，共83页 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分

42、次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。现在学习的是第76页，共83页4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、

43、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .现在学习的是第77页，共83页一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarc

44、sin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案现在学习的是第78页，共83页二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三、三、34. .四、四、 6. .现在学习的是第79页，共83页一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为

45、_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题现在学习的是第80页，共83页5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.

46、. 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .现在学习的是第81页，共83页三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2

47、所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .现在学习的是第82页，共83页一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；练习题答案练习题答案现在学习的是第83页，共83页