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1、-五年级奥数五个几何模型-第 - 6 - 页 直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、 等积变换模型（1） 等底等高的两个三角形面积相等；（2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比） AB为公共边，所以 为公共的高，所以 （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。底和高均不同，所以比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（57）：（36）二、 鸟头模型（共角模型）两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条
2、夹边的乘积之比。互补，推理过程：连接BE，运用等积变换模型证明。三、 蝴蝶定理模型1任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 或者 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。2梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）整个梯形对应的面积份数为： 四、 相似模型相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型）下面的比例关系适用如上两种模型：1、 2、 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形
3、相关的常用的性质以及定理如下：（1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；（2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。五、 燕尾定理课堂例题与练习等积变换模型部分：1. 如下图,BC=3BE,AC=4CD那么,三角形的面积是6，那么三角形面积的是多少？2.如下图，四边形ABCD是直角梯形。其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，请问阴影三角形DEF的面积是多少？3.如下图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍三角形DEC的面积是3平方厘米请问：三角形ABC的面积
4、是多少平方厘米？ 4如下图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍三角形ABC的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？ 5如下图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点三角形AED的面积是多少平方厘米？ 6. 如下图所示，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8三角形BOC的面积为多少？ 7.如下图,正方形的边长为12, 是边上的任意一点,、分别是边、上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少？鸟头模型部分：1.如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积2.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三
5、角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积4.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ 5、已知的面积为平方厘米，求的面积6、如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，三角形的面积是多少？7.如下图所示，把三角形DEF的各边向外延长一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1。请问：三角形DEF的面积是多少？8.如下图所示，把四边形ABCD的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH的面积是多少平方厘米？9.如图B
6、E=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，三角形ABC的面积为36，求阴影部分的面积。10.如图，点D、E、F与点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。如果三角形ABC的面积是48，那么，阴影部分的面积是多少？ 其他部分：1. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，、这三块的面积分别是2、8、58，则、这两块的面积差是 。2. 右图中平行四边形的面积是1080m2，则平行四边形的周长为 m。3. 在长方形ABCD中，BE5, EC4, CF4, FD1,如图所示，那么AEF的面积是_.FE4AB54CD14. 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形若其中较小
7、正方形的边长为12cm，那么较大正方形的面积是 cm 25. 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是多少平方厘米6. 如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形.图中已标出其中三块的面积，那么ABC面积是_.231ABC7. 直角边长分别为18厘米、10厘米的直角ABC和直角边长分别为14厘米、4厘米的直角ADE如图摆放M为AE的中点，则ACM的面积为_平方厘米。ABCDEM1444
8、10课后复习与检测课后总结：1. 等积变换模型为基础和重点，要能够熟练应用；2. 鸟头定理提供了简便的结论，能缩减思维过程，提高做题效率，也要熟知熟用；3. 蝴蝶定理（包括四边形和梯形），为五年级考试重点内容，熟知熟用；4. 相似模型与燕尾定理为附加内容，难题中有可能用到。了解并能简单应用；5. 解题时，应从上述五个模型出发，予以检验，从而找出解题思路。6. 四年级所学面积公式，正方形面积、割补法求面积等。练习题：1.如下图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍三角形ABC的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？ 2.如下图所示，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是
9、BC的中点，AD是AE的3倍。请问：三角形ABE的面积是多少平方厘米？3.下图中,三角形的面积是30平方厘米,是的中点,的长是的长的2倍,那么三角形的面积是多少平方厘米？4.如下图所示，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点阴影部分的面积是多少平方厘米？5.如图,长方形中, =24cm,=26cm,是的中点,、分别是、的四等分点, 为上任意一点,求阴影部分面积是多少？6.如下图所示，正方形ABCD的面积为1，把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形阴影部分的总面积是多少？
10、7.如下图，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是 平方厘米8.如下图所示，四边形ABCD内有一点O，O点到四条边的垂线都是4厘米四边形的周长是36厘米四边形的面积是多少平方厘米？9. 如下图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4,8,12,16,20平方米。请问，其余4个小长方形的面积分别是多少平方米？10. （1）如下图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）。请问：原正方形的面积为多少平方厘米？（2）把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）。请问：原正方形的面积为多少平方厘米？11. 如下图所示，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形请求出CE和CF的长度之和？12. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形的面积是多少平方厘米？13. 如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD的面积