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1、-各种插值法的对比研究 目录1.引言12.插值法的历史背景13.五种插值法的基本思想23.1拉格朗日插值23.2牛顿插值33.3埃尔米特插值33.4分段线性插值43.5三次样条插值54.五种插值法的对比研究54.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较54.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较64.3多项式插值法与分段线性插值的比较64.4 分段线性插值与样条插值的比较65.插值法在实际生活中的应用66.结束语6致谢7参考文献7-第 9 页-各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加
2、工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB程序;应用1.引言在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反
3、映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,在某个区间上是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数,这样既能反映函数的特点,又方便计算,用 近似.通常选一个简单的函数,而且成立,这个时候的,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数1.所用方
4、法就是插值法,由于所选用的的多样化,得到不同的插值法.2.插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.3.五种插值法的基本思想
5、如果一个函数在区间上有定义,且已知在点上的值,若存在一简单函数,使得成立,为插值函数,点,称为插值节点,插值节点的区间称为插值区间,求插值函数的方法称为插值法.若的多项式次数不超过,即有 3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为,为插值基函数,表达式为,截断误差为,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理2: 设在上连续,在内存在,节点,是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何,插值余项 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于高阶导数存在的情况下.若设,则误差为.3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对次
6、插值多项式进行逐次生成,然后用插值条件求出系数3.因此,提出了均差（即差商）的概念.设 称有函数,是一系列不相等的点,则 为函数关于点,的一阶均差; 称为的二阶均差; 为)的阶均差.我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出次多项式,构造出次代数插值多项式的另外一种表达形式牛顿插值多项式, ,.为牛顿插值多项式,为余项.3.3埃尔米特插值有的时候解决函数的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线相切4.(
7、一)、泰勒插值定义 为一阶重节点均差; 为二阶重节点均差;则阶重节点均差为.当时,牛顿插值公式的极限为.称为泰勒插值多项式.它满足条件,（二）、两点三次埃尔米特插值若在,的函数值为,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,为插值函数.设,为插值基函数.可得结果 , ,.3.4分段线性插值分段线性插值:一般描述,如给定个节点和相应的函数值,记,. 构造满足:(1) ;(2) ;(3) 在每个小区间上是线性函数.由以上条件直接可得在小区间上的表达式为, 误差估计. 当时,在上一致收敛到.3.5三次样条插值三次样条插值（Spline插值）的具体要求是: 函数,并在每个小区间上是一个三次,其中是给定节
8、点,如果对给定的节点函数值有,并且,成立,这时我们就把称为三次样条插值函数.4.五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,因为每添加一个点,所以的公式都要重新计算,这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会导致出现误差与原来的目的背道而驰.（二）牛顿插值多项式的计算量小,步骤简洁.当添加一个节点时,它仍然可以使用,即具有“承袭性”也叫“
9、继承”,所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项,我们一般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时,我们借助的辅助函数的次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布的情况时,只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质5.4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较多项式插值要求在插值节点上函数值相等,计算简单,条件不怎么苛刻.但是如果有的时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类情况.埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性.但是它的光滑度不高,而且它的使用条件,也有局限性.在一些特定的限制
10、条件下,有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的.因此,知道节点处的导数的插值函数成为能否运用Hermite插值的一个重要因素6.4.3多项式插值法与分段线性插值的比较多项式插计算简单,比较方便,但是节点增加的同时就会出现龙格现象,图形波动较大7.分段线性插值能够克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值的比较样条插值的插值函数算法稳定,而且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部确定,常常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中的应用插值法是数值逼近中一个非常重要的部分,其次它在实际生活中起着不容小觑的作用,比如天文学以及数学.6.结束语
11、插值法在解决实际问题中有很大的应用.插值方法是各种各样的,它包含拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.我们不论使用哪个插值法,它的原理都是一样的.本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答,让我们哪种方法适合解答哪种类型的题,再然后进行对比,探讨出它们的优缺点,最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用,它和我们是相连的,同时利用MATLAB给出了模拟图,通过这种数与形的结合,更好地了解各类插值法的应用于特征.致谢本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。苏晓琴老师以其
12、广博的知识、丰富的经验和清晰的思路，自始至终给我以耐心的指导，使我能够顺利的完成论文写作；她严谨的治学态度和精益求精的工作方式给我留下深刻的印象，令我受益匪浅；故借此论文完成之际，对苏晓琴老师表示深深的感谢。参考文献1李庆扬,王能超. 数值分析第5版M.北京:清华大学出版社,2008.2246.2王仁宏.数值逼近M.北京:北京高等出版社,1999.3吴才斌.插值法及其应用J.湖北大学成人教育学院学报,1999,(05):7780.4彭湘晖.几种常用插值方法比较分析J.黑龙江水利科技,2008,(01):6263.5朱正佑,李根国,程昌钧.分数积分的一种数值计算方法及其应用J. 应用数学和力学,
13、2003,(04):331341.6姜琴,周天宏.常见的插值法及其应用J.郧阳师范高等专科学校学报,2006,(03):7780.7赵景军,吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨J.大学数学,2005,(03):2830.Comparative Study of Various Kinds of Interpolation MethodAbstract: Interpolation is a kind of ancient mathematics method, at the same time, an old branch is in numerical calculation. Not onl
14、y is it based of numerical integration, numerical differentiation, numerical solution and differential equations, but also applies to medical science, communication, precision machining and so on. This article first introduces the background of the interpolation and the basic idea of the five sector
15、s of the method of interpolation, then we combine the Lagrange interpolation with Newton interpolation, Polynomial interpolation and Hermite interpolation, Polynomial interpolation and Piecewise linear interpolation, Piecewise linear interpolation and Spline function interpolation, are given by the
16、corresponding algorithm with the MATLAB program, then is given by comparing the five interpolation methods and the degree of approximation of the inserted function according to the learned knowledge, and the relation and difference between the different methods are found out. And the end on this bas
17、is to further study the practical application of the interpolation method to improve the practicality of the interpolation method, which allows us to see a problem in the future application, we know which method is more suitable for it, and then greatly to improve efficiency quickly.Keywords: Polynomial interpolation; Spline function interpolation; MATLAB program; Application