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1、-九年级数学上册圆专题 辅助线-第 5 页圆 专题一 辅助线1 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，是O的直径,POAB交O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PMPN=2PO2.分析：要证明PMPN=2PO2，即证明PMPC =PO2，过
2、O点作OCPN于C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明PMPC=PO2，要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆心O作OCPN于C，PC= PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=90.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如图，已知ABC内接于O，A=45，BC=2，求O的面积。 【例2】如图，O的直径为10，弦AB8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_【例3】如图，弦AB的长等于O的半径，点C在弧AMB上，则C的度数是_.2 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：
3、利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例 如图，在ABC中，C=90，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N（1） 求证：BABM=BCBN；（2） 如果CM是O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值分析：要证BABM=BCBN，需证ACBNMB，而C=90，所以需要NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得BMN=90。MNOCA（1） 证明：连结MN，则BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN（2） 解：连结OM，则OMC=90N为OC中点BMN=ON=OM，MON=60OM=OB，B=MON=30ACB=90，AB=2AC=23
4、=6【例4】如图，AB是O的直径，AB=4，弦BC=2, B= 3 遇到90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB、AC是O的的两条弦，BAC=90，AB=6，AC=8，O的半径是 5 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是O的直径，弦AC与AB成30角，CD与O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD6 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知
5、作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知：如图，AB是O的直径，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90.求证：DC是O的切线.分析：DC与O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OEDC，只需证OE
6、等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需证明DEODAO证明：作OEDC于E点，取DC的中点F，连结OF.又DOC= 90. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF为梯形的中位线.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分线. OADA，OEDC，OA=OE=圆的半径. DC是O的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8已知：如图，AB为O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线.分析：D在O上，有点连圆心，连结
7、DO，证明DODC即可. 证明：连结DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC为O的切线，切点为BOBC=90， ODC=90，又D在O上，CD是O的切线.【例7】如图所示，已知AB是O的直径，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与O相切。【例8】如图，ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F 求证：AB是O切线；7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线
8、段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例9】如图，P是O外一点，PA、PB分别和O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E，若PDE的周长为12，则PA长为_8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，ABC中，A=45，I是内心，则BIC= 【例11】如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离9 遇到三角形的外接圆时
9、，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1已知：P是O外一点，PB，PD分别交O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分BPD2如图，ABC中，C=90，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圆O的半径.3已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切O于E点.求证：AD也和O相切.4如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知NPA=30，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积.我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.