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1、第八节 二项分布、超几何分布、正态分布课程标准解读1 .理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题2借助正态分布曲 线了解正态分布的概念，并进行简单应用.君莹芸莹,必备知识 新学法 基础落实注莹莹莹君知识排查微点淘金知识点一二项分布2 . 重伯努利试验我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行几次所组成的随机试验称为重伯努利试 验.显然，重伯努利试验具有如下共同特征：同一个伯努利试验重复做次；各次试验的结果相互独立.3 .二项分布(1) 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为P，记q=lp,且次独 立重复试验中出现“成功”的
2、次数为X,那么X的取值范围是0,1,，上，加，而且P(X =%)=心浦加厂攵=0,1, ，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从二项分布,记作工二 ). p（x=z）= tCpS -p）nk=L k=0k=03.二项分布的均值与方差如果X3(小p),那么反如=理，D(X) = np(j-p1知识点二超几何分布1 .超几何分布一般地，假设有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M135) =1P(65WXW135)210 954%7一=0.023.又P(X 117.5) = 0.1585,那么本次考试数学成绩特别优秀的人on数大约是而丽义0023=12.答案：0.1
3、6 12假设X服从参数为M ，M的超几何分布，即X”（M % M）,那么E(X) =知识点三正态分布1 .正态曲线与普.9（x）的解析式中含有4和。两个参数，其中：=石，,即X的均值;。=遮面，即X的标准差.一般地,0（x）对应的图像称为正态曲线（也因形状之故而 被称为“钟形曲线”，矶x）也常常记为多式工）.2 .正态曲线的性质（1）正态曲线关于x=a对称（即决定正态曲线对称轴的位置）,具有中间高，两边低的 特点；正态曲线与犬轴所围成的图形面积为1;（3）。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以 曲线越“胜”；。越小，说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲
4、线越“瘦”.3 .正态分布一般地，如果随机变量X落在区间而句内的概率，总是等于以“（X）对应的正态曲线与 九轴在区间，加内围成的面积,那么称X服从参数为与c的正态分布，记作XN（，片）, 此时。”（力称为X的概率密度函数,此时是X的均值,而。是X的标准差,是X的左 差.4 .标准正态分布（1） = 0且。=1的正态分布称为标准正态分布,其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果y叫，/），那么令x=号，那么可以证明xn（o,i）,即任意正态分布通过交换 都可以化为标准正态分布.（2）如果XM。/），那么对任意通常记O（a） = P（XVa）,也就是说表示N（0） 对应的正态曲线与x轴在区间（一
5、8, a）内所围成的面积，如图：）具有的性质: 氏一。）+ 0（。）=1.小试牛刀自我诊断1 .思维辨析(在括号内打“ J ”或“义”)(1)小王通过英语听力测试的概率是:，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得 通过的概率是p=a(O(i款=%()(2)正态曲线落在区间供一3g + 3Q之外的局部对应事件的概率很小，接近于0.()答案：(1)X (2)V2 .(链接人B选择性必修第二册P77例4)设袋中有80个红球、20个白球，假设从袋中任 取10个球，那么其中恰有6个红球的概率为()A CtoCto DCloCloA-c|&r b-cI8T小 80。20 c。80丁20c-ci8r D
6、-ci8T答案：D3 .(忽视正态分布的对称性)假设随机变量服从正态分布M2,/)，在区间(4, +8) 上取值的概率是0.2,那么4在区间(0,2)上取值的概率为.解析：因为随机变量小服从正态分布N(2,(?),所以正态曲线关于直线x=2对称，又 P(C4)=0.2,所以 P(30) = 0.2,所以所求概率 P(0c4)=0.3.A答案：0.34 .(区分“恰好”“至少”“至多”)箱中有标号为123,4,5,6且大小相同的6个球，从 箱中一次摸出2个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，那么获奖.假设有4 人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是.解析：由题意知，获奖的概率尸=*=|,
7、记获奖的人数为3。3(4,，4人中恰好有3人获奖的概率尸=&(|)3e+lX翥+2X+3X=羊法二：因为随机变量X服从超几何分布”（7,4,3）,设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠缺乏的员工有2人”； 事件。为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠缺乏的员工有1人，那么A=8UC,且 3 与 C 互斥.由知，P(B) = P(X=2), P(O = P(X=1),故 P(A) = P(BUC) = P(X=2) + P(X=1)=*所以事件A发生的概率为争三、应用探究点正态分布（师生共研）典例剖析例4 （2021 .烟台模拟）2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文
8、发布，旨 在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建 设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200名学生每周阅读时间x（单位：小时）并绘制如下图的频率分布直方图.0.35频率组距二 二 二-V一 - 1 ,一 一2 9 19 43 OS.160 9.0 o o OO7.5 8.5 9.510.511.512.5 阅读时间卜时（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数X和样本方差一（同一组的数据用该组区 间中点值代表）；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布/），其中 近似为样本平均数三,擀近似为样本方差一
9、般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：假设XNa，/）， 令/=?，那么yM。），且p（x 10) = 1 -10)=0.2266,可得 Z3(20,0.2266),产(Z2 2) = 1 P(Z= 0) - P(Z= 1)=1 -O.77342O-C1o X 0.2266 X 0.7734,9= 1-(0.7734+20 X 0.2266) X 0.7734190.9597.Z 的均值 E(Z) = 20X0.2266=4.532.方法规律正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3。原那么求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的小进行对 比联系，确定它们属于口一6
10、+可，/ 2cr, + 2o, / 3(7, + 3。中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直 线对称，及曲线与x轴之间的面积为1 .注意下面结论的活用：正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上概率相同.P(XW。)= 1 P(XN，P(XW4)= P(XN+d).解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用. 学会用活2 .(2021 .烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.假设高三全体 考生的数学成绩近似服从正态分
11、布Ml。,17.52).成绩在117.5分以上(不含117.5分)的 学生有80人,那么此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为；如果成绩大于135 分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人.(假设XN(，冷,那么 Pa一0WXW + Q0683, P(一2oWXW + 2Qg0.954)1 P(82.5WXW 117.5)1 -0.683二%解析：因为数学成绩X服从正态分布N(100/7.52),那么尸(100-17.5WX100+17.5) = P(82.5XW 117.5)-0.683,所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X82.5) =0.1585.又 P(100 - 17.5X2X100 + 17.5X2)=