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1、-三角恒等变换知识点总结-第 7 页第三章 三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：； （）； （）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：升幂公式降幂公式， 3、 （后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中5（1）积化和差公式sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-)coscos=cos(+)+cos(-) sinsin= -cos(+)-cos(-)（2）和差化积公式sin+sin= sin-sin=cos+cos= cos-cos= -tan+ cot=
2、tan- cot= -2cot21+cos= 1-cos=1sin=()26。（1）升幂公式1+cos= 1-cos=1sin=()2 1=sin2+ cos2sin=（2）降幂公式sin2 cos2sin2+ cos2=1 sincos=7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是
3、的二倍；是的二倍； ；问： ； ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：； ； = ；（其中 ；）（6）三角函数式的化简运算通常
4、从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ； ；推广： ；推广：二、基础训练1下列各式中，值为的是 A、 B、C、D、（答：C）；2已知，那么的值为_（答：）；3的值是_（答：4）；4已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对）5已知，那么的值是_（答：）；6已知，且，求的值（答：）7求值（答：1）；8已知，求的值（答：）9已知A、B为锐角，且满足，则_（答：）；10若，化简为_（答：）11函数的单调递增区间为_（答：
5、）12化简：（答：）13若方程有实数解，则的取值范围是_.（答：2,2）；14当函数取得最大值时，的值是_(答：)；15如果是奇函数，则=(答：2)；16求值：_(答：32)17若且，求的值（答：）.三、规范解题1. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()2.化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 （复角单角，从“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2
6、-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=+-cos2cos2=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2c
7、os2=.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1=.3已知；(1) 求的值； (2) 设，求sin的值解：（1）（2）16sin224sin110 解得 故4已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、tan的值解：由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0，) cos0
8、sin12sin1 sin tan5.设向量，若，求的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换6.已知,()求的值.（）求.【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的范围定角。解析（）由，得，于是（）由，得又，由得：,所以【导引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。7.已知函数（）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力. 解：（）（）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为