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1、第十二章 无穷级数【本章网络构造图】 第一节 常数项级数概念和性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项和称为级数局部和。假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数和,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。当级数收敛时, 称差值为级数余项。显然。【例1】93三级数和为 .【答案】结论：等比几何级数 ：收敛 当时 发散 当时二、收敛级数和假设收敛，那么其和定义为。三、无穷级数根本性质学习笔记：1假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其和为。注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2） 设有两个收敛级数，那么
2、级数也收敛, 其和为。注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：1假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。 2假设二级数都发散，不一定发散。【例】取，而。3在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。4收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数和。推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。【例】，但发散。【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】 学习笔记： 不存在 故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。注：并非级数收敛充分
3、条件【例】调和级数，虽然，但是此级数发散。事实上，假设调和级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其和：1 2 【答案】1发散；2发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：1几何级数：，当时收敛；当时发散.2级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。【重点小结】1、常数项级数收敛和发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节 常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。收敛定理1：正项级数收敛等价于局部和序列有界。收敛定理2 ：(比拟审敛法)设，是两个正项级数, 且存在，对一
4、切，有常数 ),那么有1假设强级数收敛，那么弱级数也收敛；2假设弱级数发散，那么强级数也发散。调和级数与级数是两个常用比拟级数。学习笔记：具体：假设存在，对一切，那么发散；，那么收敛。【例1】 判断以下级数敛散性（1） 2, （3） 4 5【答案】1收敛；2当时，发散；当时，收敛； 3收敛； 4发散； 5收敛【例2】97一设，证明()存在；级数收敛.【解析】1用单调有界必收敛证明；2用比拟审敛法证明收敛定理3： (比拟审敛法极限形式)设两正项级数，满足，那么有:1当时,两个级数同时收敛或发散；2当时，且收敛时，也收敛；3当时，且发散时，也发散。【例3】判断以下级数敛散性学习笔记：12其中常数【
5、答案】1收敛；2发散【例4】04一设为正项级数，以下结论中正确是A假设那么级数收敛.B假设存在非零常数使得那么级数发散.C假设级数收敛，那么D假设级数发散，那么存在非零常数，使得答案：B收敛定理4：比值审敛法设为正项级数，且，那么有：1当时，级数收敛；2当或时，级数发散。3当时,级数可能收敛也可能发散.【例】级数：，但【例5】判断级数敛散性学习笔记：1 2 【答案】1收敛；2发散【例6】04三设有以下命题：假设收敛，那么收敛.假设收敛，那么收敛.假设，那么发散.假设收敛，那么，都收敛.那么以上命题中正确是（A） B C D【答案】B【例7】88三讨论级数敛散性.【答案】收敛.收敛定理5：根值审
6、敛法设为正项级数, 且，那么有：（1） 当时，级数收敛；（2） 当时，级数发散；3当时,级数可能收敛也可能发散。【例】级数：，学习笔记：但【例8】判断级数敛散性1 2【答案】1收敛；2发散二 、交织级数及其审敛法 设 ，那么各项符号正负相间级数称为交织级数。收敛定理6 ：(莱布尼茨判别法)假设交织级数满足条件：（1） ；（2） ，那么级数收敛，且其和，其余项满足。【例9】用莱布尼茨判别法判别级数敛散性：【解析与答案】讨论 极限和单调性，亦即讨论函数，当时极限，和在上单调性，由此可知级数是收敛。【例10】95一设，那么级数A与都收敛. B与都发散.C收敛而发散. D发散而收敛.学习笔记：【答案】
7、C三、绝对收敛与条件收敛 定义：对任意项级数，假设收敛，那么称原级数绝对收敛；假设原级数收敛, 但取绝对值以后级数发散, 那么称原级数条件收敛。【例】条件收敛；为绝对收敛。定理7 绝对收敛级数一定收敛。【例11】判断级数敛散性。（1） 2 3 4【答案】1绝对收敛；2条件收敛； 3绝对收敛；4绝对收敛【例12】87一设常数，那么级数A发散. B绝对收敛.C条件收敛. D收敛或者发散与取值有关.【答案】C【13】90一设为常数，那么级数A绝对收敛. B条件收敛.C发散. D收敛性与取值无关.【答案】C学习笔记：【例14】92一级数常数A发散. B条件收敛.C绝对收敛. D收敛性与有关.【答案】C
8、【例15】94一设常数，且级数收敛，那么级数A发散. B条件收敛.C绝对收敛. D收敛性与有关.【答案】C【例16】96一设且收敛，常数，那么级数（A） 绝对收敛. B条件收敛. C发散. D敛散性与有关.【答案】A【例17】96三下述各选项正确是A假设和都收敛，那么收敛.B假设收敛，那么与收敛.C假设正项级数发散，那么.D假设级数收敛，且，那么级数也收敛.【答案】A学习笔记：【重点小结】级数敛散性判别总结1. 利用局部和数列极限判别级数敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定3. 任意项级数审敛法概念：设为收敛级数，假设收敛，称绝对收敛；假设发散，
9、称条件收敛。莱布尼茨判别法：。第三节 幂级数一、 函数项级数概念设为定义在区间上函数, 那么称为定义在区间 上函数项级数。 对，假设常数项级数收敛,称为其收敛点，所有学习笔记：收敛点全体称为其收敛域；假设常数项级数发散，称为其发散点, 所有发散点全体称为其发散域。 在收敛域上，函数项级数和是函数，称它为级数和函数 , 并写成。假设用表示函数项级数前项和, 即，令余项，那么在收敛域上有，。【例】等比级数，它收敛域是，当时，有和函数；它发散域是和，或写作。二、幂级数及其收敛性 形如：函数项级数称为幂级数, 其中数列称为幂级数系数。下面着重讨论情形, 即定理1 (阿贝尔定理)假设幂级数在点收敛，那么对满足不等式一切幂级数都绝对收敛。反之，假设当时学习笔记：