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1、第十二章 无穷级数第一节 常数项级数概念和性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项.级数前项和称为级数局部和。假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数和,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。【例1】93三级数和为 .【答案】结论：等比几何级数 ：当时收敛 当时发散 二、收敛级数和假设收敛，那么其和定义为。三、无穷级数根本性质1假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其和为。注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2） 设有两个收敛级数，那么级数也收敛, 其和为。注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减【例】取，而
2、。3在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。4收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数和。推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。【例】，但发散。【例2】判断级数敛散性：四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。【例】注：并非级数收敛充分条件【例】调和级数【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其和：1 2 【答案】1发散；2发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性1几何级数：，当时收敛；当时发散.2级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。第二节 常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法
3、正项级数：假设，那么称为正项级数。收敛定理1：正项级数收敛等价于局部和序列有界。收敛定理2 ：(比拟审敛法)设，是两个正项级数, 且存在，对一切，有常数 ),那么有1假设强级数收敛，那么弱级数也收敛；2假设弱级数发散，那么强级数也发散。调和级数与级数是两个常用比拟级数。【例1】 判断以下级数敛散性（1） 2 【答案】1收敛；2当时，发散；当时，收敛； （3） 4 【答案】3收敛； 4发散； 5【答案】5收敛【例2】97一设，证明:()存在；级数收敛.【解析】1用单调有界必收敛证明；2用比拟审敛法证明收敛定理3： (比拟审敛法极限形式)设两正项级数，满足，那么有:1当时,两个级数同时收敛或发散；
4、2当时，且收敛时，也收敛；3当时，且发散时，也发散。【例3】判断以下级数敛散性12其中常数【答案】1收敛；2发散【例4】04一设为正项级数，以下结论中正确是A假设那么级数收敛.B假设存在非零常数使得那么级数发散.C假设级数收敛，那么D假设级数发散，那么存在非零常数，使得【答案】B收敛定理4：比值审敛法设为正项级数，且，那么有：1当时，级数收敛；2当或时，级数发散。3当时,级数可能收敛也可能发散.【例】级数：【例5】判断级数敛散性1 2 【答案】1收敛；2发散【例6】04三设有以下命题：假设收敛，那么收敛.假设收敛，那么收敛.假设，那么发散.假设收敛，那么，都收敛.那么以上命题中正确是 【例7】
5、88三讨论级数敛散性.【答案】收敛.收敛定理5：根值审敛法设为正项级数, 且，那么有：（1） 当时，级数收敛；（2） 当时，级数发散；3当时,级数可能收敛也可能发散。【例】级数：【例8】判断级数敛散性1 2【答案】1收敛；2发散二 、交织级数及其审敛法 设 ，那么各项符号正负相间级数称为交织级数。收敛定理6 ：(莱布尼茨判别法)假设交织级数满足条件：1；（2） ，那么级数收敛【例9】用莱布尼茨判别法判别级数敛散性：【解析与答案】单调性，极限【例10】95一设，那么级数（A） 与都收敛. B与都发散.C收敛而发散. D发散而收敛.【答案】C三、绝对收敛与条件收敛 定义：对任意项级数，假设收敛，那
6、么称原级数绝对收敛；假设原级数收敛, 但取绝对值以后级数发散, 那么称原级数条件收敛。【例】条件收敛；为绝对收敛。定理7 绝对收敛级数一定收敛。【例11】判断级数敛散性。（1） 2 3 4【答案】1绝对收敛；2条件收敛；3绝对收敛；4绝对收敛【例12】87一设常数，那么级数A发散. B绝对收敛.C条件收敛. D收敛或者发散与取值有关.【答案】C【13】90一设为常数，那么级数A绝对收敛. B条件收敛.C发散. D收敛性与取值无关.【答案】C【例14】92一级数常数A发散. B条件收敛.C绝对收敛. D收敛性与有关.【答案】C【例15】94一设常数，且级数收敛，那么级数A发散. B条件收敛.C绝
7、对收敛. D收敛性与有关.【答案】C【例16】96一设且收敛，常数，那么级数（A） 绝对收敛. B条件收敛. C发散. D敛散性与有关.【答案】A【例17】96三下述各选项正确是A假设和都收敛，那么收敛.B假设收敛，那么与收敛.C假设正项级数发散，那么.D假设级数收敛，且，那么级数也收敛.【答案】A第三节 幂级数一、 函数项级数概念设为定义在区间上函数, 那么称为定义在区间 上函数项级数。 对，假设常数项级数收敛,称为其收敛点，所有收敛点全体称为其收敛域；假设常数项级数发散，称为其发散点, 所有发散点全体称为其发散域。在收敛域上，函数项级数和是函数，称它为级数和函数 , 并写成。【例】等比级数
8、二、幂级数及其收敛性 形如： 函数项级数称为幂级数, 其中数列称为幂级数系数。下面着重讨论情形, 即定理1 (阿贝尔定理)假设幂级数在点收敛，那么对满足不等式一切幂级数都绝对收敛。反之，假设当时该幂级数发散，那么对满足不等式一切，该幂级数也发散。称为收敛半径，称为收敛区间。加上收敛端点称为收敛域。定理2 假设系数满足，那么1当时，；2当时，；3当时，。【例1】95一幂级数收敛半径 .【答案】【例2】02三设幂级数和收敛半径分别为与，那么幂级数收敛半径为（A） . B. C. D.【答案】A【例3】求幂级数收敛半径及收敛域。【答案】收敛域为【例4】88一求幂级数收敛域.【答案】【例5】88一假设
9、在处收敛，那么此级数在处 （A） 条件收敛 B绝对收敛 C发散 D收敛性不能确定答案：B三、幂级数运算定理3 设幂级数及收敛半径分别为，令，那么有： 其中定理4 假设幂级数收敛半径，那么其和函数在收敛域上连续并有任意阶导数，且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，运算前后收敛半径一样： 【例6】97一设幂级数收敛半径为3，那么幂级数收敛区间为 . 【答案】第四节 函数展开成幂级数与级数求和一、泰勒级数复习泰勒中值定理：假设函数在某邻域内具有阶导数, 那么在该邻域内有： 泰勒级数定义：假设在某个邻域内具有任意阶导数，那么称 为泰勒级数。当时泰勒级数又称为麦克劳林级数。函数展开成泰勒级数充要条件数一
10、：设在某个邻域内具有任意阶导数，那么在该邻域内能展开成泰勒级数充分必要条件是泰勒余项，是该邻域中点，介于与之间).此时，有泰勒级数 。二、几个常见函数麦克劳林展开式1 （2） ； （3） ； （4） ； 5； 6 7。三、函数展开成幂级数 展开方法1、直接展开法由泰勒级数理论可知, 函数展开成幂级数步骤如下：第一步 求函数及其各阶导数在处值；第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径； 第三步 判别在收敛区间内是否为0。【例1】将展开成幂级数。【答案】2、间接展开法具体方法：利用一些函数展开式及幂级数运算性质，将所给函数展开成幂级数。【例2】87三将函数展开级数，并指出收敛区间.【答案】，其收敛区间为.【例3】95三将函数展成幂级数，并指出其收敛区间.【答案】，收敛区间为.【例4】89一将函数展为幂级数.【答案】，.【例5】94一将函数展开成幂级数.【答案】【例6】将展成幂级数。