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1、第十六章 动量守恒定律一、冲量和动量（一）学问要点1.动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv动量是描绘物体运动状态的一个状态量，它刚好刻相对应。动量是矢量，它的方向和速度的方向一样。2.冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft冲量是描绘力的时间积累效应的物理量，是过程量，它刚好间相对应。冲量是矢量，它的方向由力的方向确定（不能说和力的方向一样）。假设力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向一样。高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变更来求。要留意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作
2、功，但确定有冲量。（二）例题分析例1：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑究竟端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？mH解：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、mgcos和mgsin，所以它们的冲量依次是：特殊要留意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。例2：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度程度向右运动，遇到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同始终线以2m/s的速度程度向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变更？变更了多少？解：取程度向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度v=2m/s，碰撞前钢球的动量为P=mv=0.22kgm/s=0.4kgm/s。碰撞后钢球的速度为v=0
3、.2m/s，碰撞后钢球的动量为p=m v=-0.22kgm/s=-0.4kgm/s。p= p-P=-0.4kgm/s-0.4kgm/s=-0.8kgm/s，且动量变更的方向向左。vvvv4545例3：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变更大小和方向？解：碰撞前后钢球不在同始终线运动，据平行四边形定则，以p和P为邻边做平行四边形，则p就等于对解线的长度，对角线的指向就表示的方向：45pp-p45 方向竖直向上。动量是矢量，求其变更量可以用平行四边形定则：在一维状况下
4、可首先规定一个正方向，这时求动量的变更就可以简化为代数运算了。例4（12分）如图所示，在光滑、固定的程度杆上套着一个光滑的滑环 ，滑环下通过一根不行伸长的轻绳悬吊一重物M，轻绳长为L，将滑环固定在程度杆上，给M一个程度冲量作用，使M摇摆，且恰好刚遇到程度杆。问（1）M在摇摆过程中，滑环对程度杆的压力的最大值是多少？（2）若滑环 不固定，仍给M以同样大小的冲量作用，则M摆起的最大高度为多少？解：（1）机械能守恒 （2分）M通过最低点T最大 （2分） （1分） 再对滑环受力分析 （2分）（2）不固定机械能仍守恒 初速度： （2分）程度动量守恒 （2分） （1分）二、动量定理（一）学问要点1.动量定
5、理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变更。既I=p动量定理说明冲量是使物体动量发生变更的缘由，冲量是物体动量变更的量度。这里所说的冲量必需是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。动量定理给出了冲量（过程量）和动量变更（状态量）间的互求关系。现代物理学把力定义为物体动量的变更率：（牛顿第二定律的动量形式）。动量定理的表达式是矢量式。在一维的状况下，各个矢量必需以同一个规定的方向为正。2.利用动量定理定性地说明一些现象3.利用动量定理进展定量计算利用动量定理解题，必需根据以下几个步骤进展：明确探讨对象和探讨过程。探讨对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组
6、内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。探讨过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。进展受力分析。只分析探讨对象以外的物体施给探讨对象的力。全部外力之和为合外力。探讨对象内部的互相作用力（内力）会变更系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。假设在所选定的探讨过程中的不同阶段中物体的受力状况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的状况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一样的矢量为正，反之为负。写出探讨对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。根据动量定理列式求解
7、。（二）例题分析例1：以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变更是多少？解：因为合外力就是重力，所以p=Ft=mgt 有了动量定理，不管是求合力的冲量还是求物体动量的变更，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要便利得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简洁；当合外力为变力时，在高中阶段只能用p来求。例2：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度一样，而末速度都是零也一样，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变更一样。根据Ft=p，
8、第一次及地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次及泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应当指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板互相作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫互相作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）F例3：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸快速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？ABC解：物体动量的变更不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在程度方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩
9、擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变更，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变更。例4：质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑外表，又经过时间t2停在沙坑里。求：沙对小球的平均阻力F；小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。解：设刚开场下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，而阻力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有： mg(t1+t2)-Ft2=0, 解得： 仍旧在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间
10、内只有重力的冲量，在t2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有： mgt1-I=0,I=mgt1这种题本身并不难，也不困难，但确定要细致审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力敏捷组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t1 t2时，Fmg。m Mv0v/例5：质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直马路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然及汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才觉察。若汽车的牵引力始终未变，车及路面的动摩擦因数为，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？解：以汽车和拖车系统为探讨对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程
11、经验时间为v0/g，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得： 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。例6：质量为m=1kg的小球由高h1=0.45m处自由下落，落到程度地面后，反跳的最大高度为h2=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经验的时间为t=0.6s，取g=10m/s2。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。解：以小球为探讨对象，从开场下落到反跳到最高点的全过程动量变更为零，根据下降、上上升度可知其中下落、上升分别用时t1=0.3s和t2=0.2s，因此及地面作用的时间必为t3=0.1s。由动量定
12、理得：mgt-Ft3=0 ，F=60N例7、如图所示，质量为2kg的小车静止在光滑程度面上，的右端停放有一个质量为0.4kg、带正电荷0.8C的小物体。整个空间存在着垂直于纸面对里、磁感应强度0.5的匀强磁场，现从小车的左端，给小车A一个程度向右的瞬时冲量I=26Ns，使小车获得一个程度向右的初速度，物体及小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求 （1）瞬时冲量使小车获得的动能（2）物体的最大速度?（3）在A及B互相作用过程中系统增加的内能?（10m/s2）解析：（1）瞬时冲量和碰撞是一样的，由于作用时间极短，可以忽视较小的外力的影响，而且认为，冲量完毕后物体的速度仍为零冲量是物体动量变更的缘由
13、，根据动量定理即可求的小车获得的速度，进而求出小车的动能Mv, v=I/M=13m/s, E=Mv2/2=169J(2)要想得知物体的速度何时最大，就要对瞬时冲量完毕后、物体互相作用的过程做一个较详细的分析。小车获得程度向右的初速度后，由于、之间的摩擦，向右减速运动，向左加速运动，同时由于罗伦兹力的影响、之间的摩擦也发生变更，设A、刚分别时速度为vB qvBB 即vB10/ 若A 、能相对静止，设共同速度为，由v0（m） =10.8m/s,因vB说明、在没有到达共同速度前就分别了 所以，的最大速度为vB10/这一步的要害就是对两个临界状态进展分析和比拟，最终确定的最大速度。假设题中条件20Ns
14、,将得出vB，就说明、在没有分别前就到达了共同速度则共同速度就是的最大速度，因为，、在到达共同速度后速度不再发生变更，也就不会再分别。做过这个题目后，对本题的分析和反思时应当想到这一步。(3) 由于罗伦兹力的影响、B之间的摩擦力渐渐削减，因此无法用fs相对求摩擦产生的热量，只能根据机械能的削减等于内能的增加来求解。由于物体在到达最大速度时，两个物体已经分别，就要根据动量守恒定律求这时的速度，设当物体的速度最大时物体A的速度为vA、系统动量守：vvAvB vA(Mv0mvB)/M=11/ v/2vA/2vB/228J例8、设小车一辆玩具小车的质量为3.0kg，沿光滑的程度面以2.0m/s的速度向
15、正东方向运动，要使小车的运动方向变更，可用速度为2.4m/s的水流由西向东射到小车的竖直挡板CD上，然后流入车中求：要变更小车的运动方向，射到小车里的水的质量至少是多少？解：设射入小车中的水的质量分别为M和 m，对于小车和射入的水组成的系统，程度方向动量守恒，以向东为正方向，有 随着射入小车中水的质量增加，车及车中的水的速度V要减小，直到速度V=0，射入小车的水质量再增加，VvB,；碰后A的速度不大于B的速度， ；又因为碰撞过程系统动能不会增加， ，由以上不等式组解得： s2 ds1v0v此类碰撞问题要考虑三个因素：碰撞中系统动量守恒；碰撞过程中系统动能不增加；碰前、碰后两个物体的位置关系（不
16、穿越）和速度大小应保证其依次合理。例3：设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑程度面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的间隔 。解：子弹和木块最终共同运动，相当于完全非弹性碰撞。从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图所示，明显有s1-s2=d对子弹用动能定理： 对木块用动能定理： 、相减得： 这个式子的物理意义是：fd恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应当等于系
17、统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小及两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟途径有关，所以这里应当用路程，而不是用位移）。 由上式不难求得平均阻力的大小：至于木块前进的间隔 s2，可以由以上、相比得出：从牛顿运动定律和运动学公式动身，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移及平均速度成正比： 一般状况下，所以s2d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽视不计。这就为分阶段处理问题供应了根据。象这种运动物体及静止物体互相作用，动量守恒，最终共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公
18、式： 当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍旧守恒，系统动能损失仍旧是EK= f d（这里的d为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用式计算EK的大小。 做这类题目时确定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。l2 l1例4：质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1、l
19、2，则：mv1=Mv2，两边同乘时间t，ml1=Ml2，而l1+l2=L， 应当留意到：此结论及人在船上行走的速度大小无关。不管是匀速行走还是变速行走，甚至来回行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是一样的。做这类题目，首先要画好示意图，要特殊留意两个物体相对于地面的挪动方向和两个物体位移大小之间的关系。 以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。假设发生互相作用前系统就具有确定的动量，那就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程，而要利用(m1+m2)v0= m1v1+ m2v2列式。例5：总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v0，速度方向程度。火箭向后以相对于地面的速率u喷出
20、质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？解：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v0方向为正方向，例6（15分）如图所示，挡板P固定在足够高的程度桌面上，小物块A和B大小可忽视，它们分别带有 QA和 QB的电荷量，质量分别为mA和mB两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不行伸长的轻绳跨过滑轮，一端及B连接，另一端连接一轻质小钩，整个装置处于方向程度向左的匀强电场中，电场强度为E开场时A、B静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B始终在程度面上运动且不会遇到滑轮试求(1) 开场A、B静止时，挡板P对物块A的作用力大小；(2
21、) 若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，当物块C下落到最大间隔 时物块A对挡板P的压力刚好为零，试求物块C下落的最大间隔 ；(3) 若C的质量改为2M，则当A刚分开挡板P时，B的速度多大？解：（15分）（1）对系统AB： （4分）(2)开场时弹簧形变量为 ，由平衡条件： （2分）设当A刚分开档板时弹簧的形变量为 ：由： 可得 （2分）故C下降的最大间隔 为： （1分）由式可解得 （1分）（3）由能量守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的的削减量等于B的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和当C的质量为M时： （2分）当C的质量为2M时，设A刚分开挡板时B的速度为V （2分）由式可解得A刚分开P时B的速度为：（