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1、第5讲 运动学综合温馨寄语截止到目前，我们已经把运动学的主要框架学问都学习完了，但是从学完学问到敏捷运用，还有很远的一段路程。大家应当重点从公式和物理量的推导，方法，模型的总结几个方面去反复复习。学问点睛运动学思想方法总结：1坐标系方法：坐标系是定量探讨世界的一个特别重要的工具，利用坐标系可以很简单的定义物理量（比方，位置，位移，轨迹，速度，加速度等等），分析物理量之间的关系（最大，最小，曲率半径等等）坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解，还有以后会学习到的极坐标等等要留意依据不同的例题采纳不同的方法例题精讲【例1】 如图所示，冰球沿及冰山底边成的方向滚上山，上山初速度，它在冰山上痕迹已
2、局部消逝，尚存痕迹如图所示，求冰山及程度面的夹角（冰球在冰山上加速度为gsin，方向沿着斜面对下，其中g为重力加速度，近似取10m/s2）。【解析】 冰球在及冰山底边平行方向做匀速直线运动，冰球在及冰山底边垂直方向做匀加速直线运动由得代入数据得【例2】 如图所示，已知在倾角为的斜面上，以初速度及及斜面成角的方向放射一小球，斜面及小球发生完全弹性碰撞，即小球的速度会被“镜面反射”问： 小球恰能到原始动身点，问总时间为多少？ 为了实现这个过程，必需满意什么条件？【解析】 小球若能回到动身点要求整个过程可逆，即在最右端可能有两种状况 为最终一次及斜面碰撞角度为即在碰后小球进入竖直直线运动无论哪种状况
3、，时间都满意： 只看垂直斜面速度，所以有时都可以满意【例3】 （摆线）一轮胎在程度地面上沿着始终线无滑动地滚动。(这种状况下，轮胎边缘一点相对于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率)，轮胎中心以恒定的速率向前挪动，轮胎的半径为，在时，轮胎边缘上的一点A正好和地面上的O点接触，试以O为坐标原点，在如图的直角坐标系中写出轮胎上A点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并写出A的轨迹方程（可以用参数方程描绘，也就是说，可以引入一个新的自变量，x和y 都随着这个自变量的改变而改变。最常见的参数方程，就是以时间t为参数的。）AAxy【解析】【选讲内容】白努力家族大斗法：白努力家族（Bernoulli
4、家族）总共出过八个宏大的数学、物理、天文等等大师，还有许多画家、艺术家白努力兄弟想比拟一下谁更聪慧。于是就相约解决最速降线问题。 在当时比拟牛逼的杂志上公开征集答案，他们各自提出了证明，杂志的主编，莱布尼茨也提出了证明，还有一个生疏人发来了一个有英国邮戳的证明确定是牛顿最终全部的证明中，Johann的证明是最简洁明了了。如下：Johann Bernoullis solution约翰白努力的证明According toFermats principle:The actual path between two points taken by a beam of light is the one w
5、hich is traversed in the least time.Johann Bernoulliused this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravityg).2Theconservation lawcan be used to
6、 express the speed of a body in a constant gravitational field as:whereyrepresents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.Johann Bernoullinoted that thelaw of refract
7、iongives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:wherevmis the constant andrepresents the angle of the trajectory with respect to the vertical.The equations above allow us to draw two conclusions:1. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be
8、nil. Hence, the brachistochrone curve istangentto the vertical at the origin.2. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle = 90.To keep things simple we can assume that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reac
9、hes maximum speed after a falling a vertical distanceD. So,Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:which can be solved fordxin terms ofdy:Substituting from the expressions forvandvmabove gives:which is thedifferential equationof an invertedcycloidgenerated by a circle of diamet
10、erD【例4】 一根长为的匀称细杆可以绕通过其一端的程度轴在竖直平面内转动，如图所示杆最初在程度位置，杆上距为处放有一小物体（可视为质点），杆及其上小物体最初均处于静止状态若此杆突然以匀角速绕轴转动，设碰撞时细杆及程度面夹角为求追上细杆时及的关系。仅仅考虑比拟小的状况。【解析】 对这一问题首先如下分析：当细杆以角速绕同转动时，的速度为零，杆上及接触处则具有线速度，因此两者分别，作自由落体运动，由于的速度不断增大，有可能追上细杆而及之碰撞，设碰撞时细杆及程度面夹角为，则随的增大而增大，当超过某一数值时，就可能碰不上而及之碰撞，所以本题要按这第一种状况进展探讨 求追上细杆时及的关系设经过时间后及细
11、杆在处相碰（见图1），则有如给定的值，由此二式可求出相应的的值由于杆长的限制，要发生碰撞，值必需满意确定条件，由图1可知，此条件为依据这一条件和曲线，可以求出相应的的取值应符合的条件由式，消去得或学问点睛2 变换参考系许多物理量在变换参考系的时候会有惊奇的性质发生常见的有，位移，速度变换到某些参考系之后，有的非圆周运动变成了圆周运动；某些不规则运动变成了竖直或者程度的运动从而可以快速解题例题精讲【例5】 曲杆传动算得上机械史上一项宏大的独创，如图是汽缸中曲柄传动的应用，其变往复运动为圆周运动，如今把这个实物简化为右图的模型，设汽缸正以速度v向下运动，角度如图所示，圆盘的半径为r，计算圆盘转动的
12、角速度。【解析】 所以【例6】 缠在线轴上的线绕过滑轮后，以恒定速度被拉出，如图所示，这时线轴沿程度面无滑动滚动，求线轴中心点的速度随线及程度方向的夹角的改变关系（线轴的内、外半径分别为和）【解析】 线轴的运动可以看作是速度为的平动和角速度为的转动的合成，而且因为线轴不沿程度面滑动，有而点速度沿线方向的投影为由得【例7】 如图所示装置，设杆以角速度绕转动，其端则系以绕过滑轮的绳，绳子的末端挂一重物已知，当时，求物体的速度【解析】 如右图所示，设，点绕轴转动的速度可表示为将分别为沿方向的速度（因点及绳系在一起，故有一分速度）和及垂直的速度，则在中，由正弦定理得由此得，此即物体的速度（绳上各点沿绳
13、方向的速度大小均及物体的速度大小一样）解法二：相对角速度法，想象杆子是静止不动的，墙转动过来，则干脆有：学问点睛3 过程问题，小量分析，微元方法微元法是高中竞赛必学的一个根本方法，它蕴含着微积分的根本思想之一：通过分析小量之间的关系来求得宏观的结论应用微元方法的时候确定要留意，哪些量可以忽视（二阶小量），哪些量是不行以忽视的，一阶小量4. 求极值,物理竞赛中用到的方法主要有:矢量几何方法求极值,二次函数极值,一元二次方程的求极值,微元法求极值,均值定理求极值,利用导数求极值等等.学问点睛【例8】 体会一下什么是包络线：就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来。请分析下面的图形的包络线：女王的冲击
14、波：【例9】 二次世界大战中物理学家曾经探讨，当大炮的位置固定，以同一速度沿各种角度放射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危急？换句话讲,求一个虚线,这个虚线包围了全部可能被打到得范围.这个线我们叫做包络线.结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是全部炮弹抛物线的包络线此抛物线为在大炮上方处，以平抛物体的轨迹证明如下：消掉得到处理方法有许多种：第一种：当做一个关于的方程来处理：则确定有解，并且在有重根的时候有可能取到包络线。因为包络线以内的随意点都有两种打击方式。得到：此际包络线第二种：可以看出，当随意给定一个，都有一个的最大值,这个最大的满意的点:就确定是包络线上的点.把当做一个关于的函数
15、求:当时候可以取到极值也就是:于是就得到了包络线的数学表达式【例10】 设湖岸为始终线，有一小船自岸边的点沿及湖岸成角方向匀速向湖中央驶去有一人自点同时动身，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船已知人在岸上走的速度为，在水中游泳的速度为试问船速至多为多少，此人才能追上船？【解析】 解法一 由等效法求解如图，设人在点刚好追上船，则人可能走许多途径，如，等等在这些途径中，费时最少者即对应着允许的最大船速如图，在湖岸这边作，自、各点分别向引垂线、（设刚好为始终线）和设想图中的下侧也变成是湖水区域，则人由点游泳至点的时间及人在岸上由点走至点的时间是相等的（因为，而），故人按题给状况经途径所用的时间和假想人
16、全部在水中游过途径等时同理，及上述的另两条实际途径等时的假想途径是和由于在这些假想途径中，速度大小都一样，故通过的途径最短费时最少，明显通过直线费时最少由以上分析知，人沿等效途径刚好在点追上船时，对应着允许船速的最大值，设其为，则有由于为等腰直角三角形，故，故得解法二 由微元法求解如图，设人在点刚好能追上船，且在人到达点的各种实际途径中，以自处入水游泳所用的总时间最少，则若自点左侧旁边的某点入水，必在点右侧有一入水点及之对应，使得在点和点入水两种状况下刚好追到船所用的总时间相等在段上取，则应有人走段和游段所用的时间相等，即当点无限靠近点时，点必同时向点靠拢，由图可见此时将近似有，故，所以由于此
17、时点是无限靠近点的，故及接近重合，即由上得出：当人自某点入水沿及岸成角方向游泳刚好追到船时，此状况下对应的船速为人能追上船的最大允许速度，设其为，如图，过相遇点作交于，因为，所以又由于，则人游段及走段的间隔 所用的时间相等故人自动身到在点追上船的时间等于他由点走到点的时间，即在中，由正弦定理有，所以【例11】 （回忆这个题目，思索各种方法）三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm第一只蜗牛动身向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目的经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候
18、，它们各自爬了多少路程？课后思索题：它们经过的路途可以用怎样的方程来描绘？若将蜗牛视为质点，那么它们在相遇前，围着它们的最终相遇点转了多少圈？【解析】 解法一：（相对速度法）将蜗牛2的速度矢量在指向蜗牛1的方向和及之垂直的方向上分解（见图）则两只蜗牛彼此靠近的相对速度为，因此它们将在60cm/（7.5cm/min）=8 min后相遇事实上，8 min后三只蜗牛将相遇在一起，由于它们的实际速度为5 cm/min，因此在相遇前，它们爬过的路程为40 cm解法二：（分速度法）将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到一样的结果，比方以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如图
19、所示很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度爬向中心点同时，围绕中心爬行的速度为可以很简单计算出蜗牛在初始状态间隔 中心点，因此它们将在后相遇解法三：边长经验了特别小的一段时间之后，变成了：所以边长减小的“速度”就是：所以总的时间应当为模拟轨迹如下:线速度不变,角速度渐渐增加,半径不断减小的运动:为了保证竞赛班学习的质量，请同学们花1分钟填写下面内容：学习效果反应：代课教师： 通过今日学习，你觉得：1. 本讲讲义内容设置：A 太难太多，吃不透B 难度稍大，个别问题须要下去接着思索C 稍易，较轻松D 太简单，来点给力的2. 本节课教师讲解你明白了：A .40%以下B .40%到80%C .80%以上但不全懂D .自以为都懂了3有什么东西盼望教师下节课再复习一下么？（可填题号，学问点，或者填无）