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1、-一元三次方程-第 5 页一元三次方程对于一般的一元三次方程，上式除以a，并设，则可化为（1），其中.（1）的根为：其中为根的判别式。当时，有一个实根与两个复根；当时，有三个实根；当时，有一个三重零根；当时，三个实根中有两个相等；当时，有三个不等实根。韦达定理：圆锥曲线统一性质从课本中，我们已经得出圆锥曲线的一条统一性质，就是圆锥曲线的第二定义，其内容是：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一常数e，当0e1时，动点的轨迹为双曲线。其中e被称为离心率，定点称为焦点，定直线称为准线，焦点到准线的距离称为焦准距，焦点到动点的线段称为焦半径。如果我们以焦点为原点，过焦点垂直于准线的直线为x轴，建立
2、直角坐标系，便可以由此得出圆锥曲线的统一直角坐标方程。如图所示，l为准线，PMl，由第二定义可得：，即，两边平方化简可得：这就是圆锥曲线的统一直角坐标方程，其中p就是焦准距，为了保证得到的是圆锥曲线，自然有p0。我们将使用此方程来讨论一下圆锥曲线的弦长。设一直线过x轴上一点(d,0)，且倾角为，则此直线的参数方程为：，并设此直线交圆锥曲线于两点。将直线方程带入统一方程中去，可得：于是弦长，其中，A不等于0。我们不妨称为圆锥曲线统一弦长公式。由于直线的斜率，由便可以用斜率来求解。特别的，当d = 0时，即直线AB通过焦点，此时，便得到圆锥曲线的焦点弦长公式：，对于椭圆和双曲线的标准方程，焦准距。
3、定理：过圆锥曲线准线与对称轴的交点引其切线，则切线与对称轴的夹角的正切值等于离心率。由我们对圆锥曲线统一直角坐标方程的推导中，x轴就是对称轴，准线方程为，O为焦点，则有。证明：设直线AB的方程为，代入统一方程中，消去y得：由于AB是切线，所以，即：，所以，即。由于切线可以引上下两条，所以有正负。离心率常见的有关模型【经典模型一】【例题1】【定义法】双曲线的左右焦点分别为，若P为双曲线上一点，且PF1=2PF2，求离心率的取值范围。【答案：】【例题2】【定义法】已知椭圆的左右焦点分别为，e为离心率，若P为椭圆上一点，且PF1=ePF2，求离心率e的取值范围。【答案：】【经典模型二】【定理1】设点
4、F时离心率为e，焦点在x轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F的弦AB与x轴的夹角为，F分所成的比为，则.【证明】如图，设直线l是焦点F相应的准线，过A，B作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，由圆锥曲线的第二定义得过B作BHAA1于H，则，又，由.容易验证当时，等式也成立。若焦点在y轴，F分所成的比为，则.【例题3】若抛物线的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，设FAFB，则的值为_.【答案：】【经典模型三】设椭圆的方程为，是左右焦点，点P是椭圆上除长轴上两个顶点外的任意一点，且，则。【推广】若改为双曲线，则【例题4】椭圆的左右焦点分别是，若椭圆上存在一点P使得，求椭圆的离心率的取值范围.【答案：】【经典模型四】已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则.【例题5】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_.【答案：】【例题6】是椭圆和双曲线的公共焦点，A,B分别是它们在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，求的离心率.【答案：】