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1、分类计数原理分类计数原理与与 分步计数原理分步计数原理看下面问题看下面问题： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么一天中，乘坐班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种）（种） 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理问题问题2：如图：如图
2、,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条条由由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 解：解： 从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有2种方法种方法,根据分步计数原理，从根据分步计数原理，从A村经村经 B村去村去C村共有村共有3 2 = 6 种不同的方法种不同的方法1、分类计数原理、分类计数原理 （加法原理）（加法原理） 完成一件事，有完成一件事，有n类方式类方式,在第一在第
3、一类方式中有类方式中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二在第二类方式中有类方式中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类方式中有类方式中有mn种不同的方种不同的方法。那么完成这件事共有法。那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法N=m1+m2+mn2、分步计数原理、分步计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，个步骤，完成第一步有完成第一步有m1种不同的方法，完成种不同的方法，完成第二步有第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，完，完成第成第n步有步有mn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完成这件事有种成这件事有种 不同的方法不同的方法。（乘法原理）（乘法原
4、理）N=m1m2mn 分类计数与分步计数的异同比较分类计数与分步计数的异同比较一、共同点：一、共同点：它们都是研究完成一件事，共有多少种它们都是研究完成一件事，共有多少种不同的方法。不同的方法。二、不同点二、不同点1、分类计数原理是、分类计数原理是“分类完成分类完成”的，每类方式之间是的，每类方式之间是彼此彼此独立的独立的 ，即任何一类方式中的任何一个方法都能达到完，即任何一类方式中的任何一个方法都能达到完成这件事的目的。成这件事的目的。分步计数原理是分步计数原理是“分步完成分步完成”的，每个步骤顺次相依，的，每个步骤顺次相依，只有完成所有步骤才能达到完成这件事的目的只有完成所有步骤才能达到完
5、成这件事的目的2、分类完成用、分类完成用“加法加法” 分步完成用分步完成用“乘法乘法”例例1 1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A A、B B两所两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名学生填写高考志愿分两类；第一类在解：这名学生填写高考志愿分两类；第一类在A
6、大学选择自己感大学选择自己感兴趣的专业，在兴趣的专业，在5种不同的填法；种不同的填法；第二类在第二类在B大学选择一个自己感兴趣的专业，有大学选择一个自己感兴趣的专业，有4种不同的填法。种不同的填法。根据分类计数原理共有根据分类计数原理共有5+4=9（种）填法（种）填法变式：变式： 若还有若还有C C大学，其中强项专业为：新闻学、金融大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学学、人力资源学. .那么，这名同学可能的专业选择共那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？有多少种？A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法
7、学C大学大学新闻学新闻学金融学金融学人力资源学人力资源学注意：分类加法计数做到不重，不漏！注意：分类加法计数做到不重，不漏！略解：分三类；共有略解：分三类；共有5+4+3（种）（种）例例2：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有60个红球，个红球， 40 个个白球，从中任取一个球，有多少种取法？从中白球，从中任取一个球，有多少种取法？从中各取一个，有多少种不同的取法？各取一个，有多少种不同的取法？分析：任取一个球的方法可以分成两类：分析：任取一个球的方法可以分成两类：40个个60个个各取一个球的方法可以分为两步来完各取一个球的方法可以分为两步来完成成解（解（2）：取一个白球和一个红球可以）：取一
8、个白球和一个红球可以分成两步分成两步来完成来完成第一步从装白球的袋子里取一个白球，有第一步从装白球的袋子里取一个白球，有60种取法种取法第二步从装红球的袋子里取一个红球，第二步从装红球的袋子里取一个红球，有有40种取法种取法根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有6040=2400种取法种取法第二步从装红球的袋子里取一个红球，第二步从装红球的袋子里取一个红球，有有40种取法种取法根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有6040=2400种取法种取法解（解（1）：任取一个球的方法可以）：任取一个球的方法可以分成两类分成两类：第一类是从装白球的袋子里取一个白球，有第一类是从装白球的袋子里取一个白球
9、，有40种取法。种取法。第二类是从装红球的袋子里取一个红球，有第二类是从装红球的袋子里取一个红球，有60种取法。种取法。因此根据分类计数原理取法种数共有因此根据分类计数原理取法种数共有40+60=100（种）（种）取法取法例例3：用前6个大写英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,B1,B2的方式给教室的座位编号.有多少种不同的编号？A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种分析：以A、B、C、D、E、F为首字母的编号分6类每类有9种编号，根据加法原理共有6 9 =54（种）分析：分析：例例4 4要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不
10、同的画中选出2 2幅，分别挂在幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？问共有多少种不同的挂法？32解：从甲乙丙三幅不同的画中选择2幅分别挂在左右两边墙上，分两步第一步：从甲乙丙三幅不同的画中选1幅挂在左国边墙上，有3种不同的选法第二步：从剩下的两幅中选1幅挂在右边墙上，有2种不同的选法根据分步计数原理，共有32=6种不同的挂法 变式变式1:1:要把要把3 3个球放入个球放入2 2两个不同的口袋两个不同的口袋, ,有几种不同的有几种不同的放法放法? ? 变式变式2:2: 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3名工人中选出名工人中选出2 2名分别上日班名分别
11、上日班和晚班，有多少种不同的选法？和晚班，有多少种不同的选法？分三步，放每个球都有两个不同的放法，根据乘法原理，共分三步，放每个球都有两个不同的放法，根据乘法原理，共有有222=8种不同的放法种不同的放法分两步，第一步，先从分两步，第一步，先从3名工人中选名工人中选1人上日班，有人上日班，有3种不同的选法种不同的选法第二步，再从剩下的第二步，再从剩下的2名工人中选名工人中选1人上晚班，有人上晚班，有2种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理：共有根据分步计数原理：共有32=3种不同的选法种不同的选法变式变式3 3：0-90-9这十个数一共可以组成多少这十个数一共可以组成多少3 3位数字？位数字
12、？分析：分三步：第一步首先要确定首位（分析：分三步：第一步首先要确定首位（0 0）不能做首位）不能做首位然后再分别确定十位和个位十位、个位数字允许重复。然后再分别确定十位和个位十位、个位数字允许重复。故有故有9 9101010=90010=900个个3 3位数位数变式变式4：用：用0-9这十个数一共可以组成多少个没有重复这十个数一共可以组成多少个没有重复数字的数字的3位数位数分析：分三步：第一步首先要确定首位（分析：分三步：第一步首先要确定首位（0）不能做首位，有）不能做首位，有9种选法。然后再分别确定十位，百位用过的不能用，但种选法。然后再分别确定十位，百位用过的不能用，但0可以可以选，还是
13、选，还是9种选法，第三步确定个位，百位和十位用过的都以种选法，第三步确定个位，百位和十位用过的都以能再选，有能再选，有8种选法。种选法。故有故有998=648个个3没有重复数字的三位数没有重复数字的三位数（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一名学生都报了项目才能算完成这一事件。故报名方法种数为事件。故报名方法种数为44444= 种种 .54（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可
14、能性有其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种种故有故有n=5= 种种 .45变式变式5：五名学生报名参加四项体育比赛，每人五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？少种？注意注意：利用分步计数原理计数，关键要分清几步，算好每一步：利用分步计数原理计数，关键要分清几步，算好每一步的方法数。的方法数。一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少
15、种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各各位上的数字允许重复位上的数字允许重复)?首位数字不为首位数字不为0的密码数的密码数是多少是多少?首位数字是首位数字是0的密码数又是多少的密码数又是多少?分析分析: 按密码位数按密码位数,从左到右依次设置第一位、从左到右依次设置第一位、第二位、第三位第二位、第三位, 需分为三步完成需分为三步完成;第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10.根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习练习1首位数字不为0，第一步，m1 =
16、9；首位数字为首位数字为0， m1 = 1给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要个字符，其中首个字符要求用字母求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？问最多可以给多少个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字母字符；第二步，先中间数字字符；第三步，选末位选首字母字符；第二步，先中间数字字符；第三步，选末位数字字符。数字字符。解：解：要给一个程序模块命名，可分三个要给一个程序模块命名，可分三个步骤，第一步字母首字符共有步骤，第一步字母首字
17、符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。 第二步中间数字字符有第二步中间数字字符有9种不同的选法种不同的选法 第三步，末位数字字符有第三步，末位数字字符有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理根据分步计数原理，最多可以有，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法练习练习21、乘积、乘积 展开后共有几项？展开后共有几项？)()(54321321321cccccbbbaaa2、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的
18、进商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？出商场的方式？练习练习3分析 分三步，第一步从第一个因式中任取一项有3种不同的取法第二步从第二个因式中任取一项，有3种不同的取法；第三步从第三个因式中任取一项有5种不同的取法。根据分步计数原理 共有335=45（项）分析分析 进出商场分两步，第一步从进出商场分两步，第一步从6个门中选一门进入商场，有个门中选一门进入商场，有6种种不同的进法；第二步从其它不同的进法；第二步从其它5个门出去，有个门出去，有5种不同的出法。种不同的出法。根据分步原理。共有根据分步原理。共有65=30（种）不同的进出方式（种）不同的进出方式 3.如图如图,
19、该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB练习练习4所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类, m1 = 3 条条第二类第二类, m2 = 1 条条第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条1 1、从、从5 5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种？方案
20、有多少种？2 2、三层书架上，上层放着、三层书架上，上层放着1010本不同的语文书，中层本不同的语文书，中层放着放着9 9本不同的数学书，下层放着本不同的数学书，下层放着8 8本不同的英语书，本不同的英语书，（1 1）从书架上任取一本，有多少种取法？）从书架上任取一本，有多少种取法？（2 2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？3 3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？位数共有多少个？4某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共有多
21、少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？判断下列用分类判断下列用分类 还是分步原理，并说出式子还是分步原理，并说出式子练习练习5 有些较复杂的问题往往不是单纯有些较复杂的问题往往不是单纯的的“分类分类”“”“分步分步”可以解决的，可以解决的，而要将而要将“分类分类”“”“分步分步”结合起来结合起来运用一般是先运用一般是先“分类分类”，然后再，然后再在每一类中在每一类中“分步分步”， 综合应用分综合应用分类计数原理和分步计数原理请看类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：下面的例题： 注意注意 从甲地到乙从甲地到乙地有地有3条路，条路，从乙地到丁地从乙地到丁地有有2条路；从条路；从甲地到丙地有甲
22、地到丙地有3条路，从丙条路，从丙地到丁地有地到丁地有4条路，问：从条路，问：从甲地到丁地有甲地到丁地有多少种走法？多少种走法？ 甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理 1有不同的中文书有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日本，不同的日文书文书5本从其中取出不是同一国文字的书本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多本，问有多少种不同的取法？少种不同的取法？ 2集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从从A,B 中各取中各取1个元个元素作为点素作为点P(x,y) 的坐标的坐标（1）可以得到多少
23、个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？3.用用6张一角硬币，张一角硬币，4张一元硬币，张一元硬币，3张五元纸币，共能张五元纸币，共能组成不同币值为多少种？组成不同币值为多少种？课堂作业课堂作业4、填空（、填空（1）将）将3封信投入封信投入4个不同的信箱，共有个不同的信箱，共有_ 种不同的投法；种不同的投法； （2）4名学生争夺名学生争夺3项冠军，每项冠军只能由项冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能性有一人获得，则获得冠军的可能性有_种；种； （3）将）将4个不同的球放入个不同的球放入3个不同的盒子，共个不同的盒子
24、，共有有_种不同的放法；种不同的放法； 43第二课时第二课时1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为()A6种B5种 C3种 D2种解析：有325种答案：B3从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种解析：能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次有5个、4个、3个人，所以不同的选择方案有4543240(种)答案：B答案：8 热点之一热点之一分类加法计数原理 分类加法计数原理是人们在大量实践
25、经验的基础上归纳出来的基本规律从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，先分类解决，各个击破，再将其整合，得出原问题的答案运用该原理解决问题的突破口是明确什么是“完成一件事” 例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有多少个？思路探究该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了即可，因此可考虑按十位上的数字情况进行分类 课 堂 记 录 根 据 题 意 ， 按 十 位 数 上 的 数 字 分 别 是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，
26、4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8765432136(个)即 时 训 练 集 合 P x , 1 ， Q y, 1 , 2 ， 其 中 x ，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14 C15 D21解析：PQ，xy或x2.当x2时，y1,2，y有7种选法；当xy时，y1,2，y也有7种选法共有满足条件的点7714个答案：B热点之二热点之二分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件
27、事的方法种数就用分步乘法计数原理例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？思路探究本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法即时训练 已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情
28、况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数例3将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？思路探究五个区域，四种颜色，所以至少有两个区域涂的是同一种颜色，结合图形，可以先选出涂同一种颜色的区域，再进行涂色即时训练 用n种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲、乙所示，要求在，四个区域中相邻 (有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若n6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值例4(2010全国)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中
29、共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种B35种C42种 D48种1(2010全国)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种C36种 D54种2(2010重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种C1008种 D1108种3(2010湖北高考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每
30、人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A152 B126C90 D54小结小结2. 2. 分类计数原分类计数原理和分步计数理和分步计数原理的共同点原理的共同点是什么？不同是什么？不同点什么？点什么？1:1:分类计数原分类计数原理和分步计数理和分步计数原理定义原理定义 作业作业：P12 1,2,3,4 如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?A1B1C1D1ACDB练习 解解: :如图如图,从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶爬到顶点点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完从局部上看每类又需两步完成成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近最近路线共有路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。A1B1C1D1ACDB