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1、2.1.2 求曲线的方程 “天宫一号天宫一号”运行要经过两次轨道控制，运行要经过两次轨道控制，从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道. 在这里我们必须要知道在这里我们必须要知道“天宫一号天宫一号”运行的轨运行的轨道（轨迹），那么科学家们是如何进行计算的呢？道（轨迹），那么科学家们是如何进行计算的呢？接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法. .1.1.理解坐标法的作用及意义理解坐标法的作用及意义. .2.2.掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系条件，选择适当坐标系. .（重
2、点、难点）（重点、难点）探究探究 求曲线的方程的步骤和方法求曲线的方程的步骤和方法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做叫做坐标法坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做的知识形成的学科叫做解析几何解析几何.因此，解析几因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何与坐标法：解析几何与坐标法：通过具体的例子我们来看看如何求曲线的方程通过具体的例子我们来看看如何求曲线的方程. .【例例1 1】设设A,BA,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是( (1,1
3、,1)1)，(3,7)(3,7)，求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .解析：解析：设点设点M(x,y)是线段是线段ABAB的垂直平分的垂直平分线上的任意一点，也就是点线上的任意一点，也就是点M属于集合属于集合.PM MAMB由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为2222(x 1)(y 1)(x 3)(y 7) .上式两边平方，并整理得上式两边平方，并整理得 x+2y7=0. 交代清楚我们证明方程是线段我们证明方程是线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .（1 1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一）由求方程的
4、过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；点的坐标都是方程的解；（2 2）设点）设点M1的坐标的坐标（x1,y1）是方程的解，即是方程的解，即 x1+2y17=0, x1=72y1.点点M1到到A，B的距离分别是的距离分别是11 ,M AM B 所所以以222211111211118215613()() ()() ();M Axyyyyy222211111211374275613()()()() ().M Bxyyyyy即点即点M在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .由由(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,方程是线段方程是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线的方程的方
5、程. . 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：几个步骤：(1)(1)建系设动点：建系设动点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数对用有序实数对（x,yx,y）表示所求曲线上任意一点）表示所求曲线上任意一点M M的坐标；（求谁设谁）的坐标；（求谁设谁）(2)(2)列几何条件列几何条件: :写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合的集合P=P=M|p(MM|p(M););(3)(3)坐标代换坐标代换: :用坐标表示条件用坐标表示条件p(Mp(M),),列出方程列出方程f(x,yf(x,y)=0;)=0;直接法说明：
6、说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤步骤（5 5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤另外，也可以根据情况省略步骤（2 2），），直接列出曲线方程直接列出曲线方程.(4)(4)化简化简: :化方程化方程f(x,yf(x,y)=0)=0为最简形式；为最简形式；(5)(5)证明证明: :说明以化简后的方程的解为坐标的点都在说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上曲线上. .【例例2 2】已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F F，点，点F F
7、到到l的距离是的距离是2.2.一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每一的上方，它上面的每一点到点到F F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,2,建立适当的建立适当的坐标系，求这条曲线的方程坐标系，求这条曲线的方程. .分析：分析：在建立坐标系时，一般应当充分在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好的这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些表示，从而使曲线方程的形式简单一些. .解：解：如图，取直线如图，取直线l为为x轴轴,过点过点F且垂直于直线且垂直于
8、直线l的直线的直线为为y轴轴, 建立坐标系建立坐标系xOyxOy. . 设点设点M(x,yM(x,y) )是曲线上任意一点，作是曲线上任意一点，作MBxMBx轴，轴，垂足为垂足为B，那么点，那么点M属于集合属于集合2.PM MFMB 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为2222(),xyy 将式移项后两边平方，得将式移项后两边平方，得,)2()2(222yyx.812xy 化简得化简得 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0.虽然原点虽然原点O的坐的坐标（标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所）是这个方程的解，但不属于已知
9、曲线，所以曲线的方程应是以曲线的方程应是.0812）（ xxy 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力本能力. .【总结提升总结提升】【变式练习变式练习】626 M M.两两个个定定点点的的距距离离为为 ，点点到到这这两两个个定定点点的的距距离离的的平平方方和和为为，求求点点的的轨轨迹迹方方程程xyMA
10、BO33 22A(-3,0)B(3,0)M( , ), |MA|MB|26 , x y如如图图建建立立坐坐标标系系，设设两两定定点点，动动点点则则解解：即即22222332642()() .xyxyxy，化化简简得得【总结提升总结提升】建立建立坐标系的基本原则坐标系的基本原则: :（1 1）定点、定线段常选在坐标轴上）定点、定线段常选在坐标轴上; ;(2(2）原点有时选在定点）原点有时选在定点; ;（3 3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴. .另外注意：另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同；要注意选择几何图形与坐标
11、系的适当却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式相对位置，以简化方程形式. .1.1.已知点已知点P P是直线是直线2x-y+3=02x-y+3=0上的一个动点，定点上的一个动点，定点M M（-1,2-1,2），），Q Q是线段是线段PMPM延长线上的一点，且延长线上的一点，且|PM|=|MQ|PM|=|MQ|，则，则Q Q点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（ ）（A A）2x+y+1=0 2x+y+1=0 （B B）2x-y-5=02x-y-5=0（C C）2x-y-1=0 2x-y-1=0 （D D）2x-y+5=02x-y+5=0D D2.在在ABC中，中，B，C 坐
12、标分别为（坐标分别为（-3，0），），（3，0），且三角形周长为），且三角形周长为16，则点，则点A的轨迹方的轨迹方程是程是_.22xy+=1(x5)2516 16解解题题关关键键：由由周周长长为为可可得得，|AB|+|AC|=10,|AB|+|AC|=10,然然后后代代入入坐坐标标化化简简整整理理，最最后后要要注注意意，由由于于构构成成三三角角形形，所所以以三三点点不不共共线线，所所以以去去掉掉两两个个点点。3.3.已知已知| |=3,A| |=3,A、B B分别在分别在y y轴和轴和x x轴上运动，轴上运动，O O为原为原点，点， ，则动点，则动点P P的轨迹方程是（的轨迹方程是（ ）（A
13、 A） （B B）（C C） （D D）AB 12OPOAOB33 22xy1422yx1422xy1922yx19A A4.4.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点B与点与点A(1，1)关关于原点于原点O对称，对称，P是动点，且直线是动点，且直线AP与与BP的斜率之的斜率之积等于积等于 .求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程.31解析：解析：因为点因为点B与点与点A(1,1)关于原点对称，得关于原点对称，得B点坐标为点坐标为(1，1)设设 P 点坐标为点坐标为(x，y)，则，则 kAPy1x1，kBPy1x1， 由题意得由题意得y y1 1x x1 1y y1 1x x1 11 13 3， 化简得：化简得：x x2 23y3y2 24(x4(x1)1) 即即 P P 点轨迹方程为：点轨迹方程为：x x2 23y3y2 24 4(x(x1)1) 建系建系设点设点列式列式化简化简验证验证建立适当的平面直角坐标系轨迹上的任意一点设为P（x，y）列出或找出动点P满足的等式将得到的等式转化为关于x，y的方程验证所求方程即为所求的轨迹方程求求曲曲线线的的步步骤骤 时间是最公开合理的，它从不多给谁一份，勤劳者能叫时间留给串串的果实，懒惰者时间给予他们一头白发，两手空空.