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1、一次函数及反比例函数解答题专题22(2021年重庆)：如图，在平面直角坐标系中，直线AB及轴交于点A-2，0，及反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n)，连接BO,假设SAOB=41求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；_22题图_x_y_O_C_A_B2假设直线AB及y轴的交点为C,求OCB的面积【答案】解:(1)由A(-2,0),得OA=2. 点B(2，n)在第一象限，SAOB=4. . 点B的坐标是2，4 设该反比例函数的解析式为.将点B的坐标代入，得反比例函数的解析式为：.设直线AB的解析式为.将点A,B的坐标分别代入，得解得 直线AB的解析式为 2在中，令得点C的坐标是0，
2、2.OC=2. SOCB=2.2021年山东省济南市如图,直线及双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4. 1求k的值；2假设双曲线上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；3过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点P点在第一象限，假设由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标【关键词】反比例函数【答案】(1点A横坐标为4 ， 当 x = 4时，y = 2 点A的坐标为4，2 2 点A是直线及双曲线k0的交点， k = 42 = 8 .3 (2)解法一： 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1 点C的坐标为1，8.4 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形D
3、MON S矩形ONDM= 32 ， SONC = 4 ， SCDA = 9， SOAM = 4 SAOC= S矩形ONDMSONCSCDASOAM = 32494 = 15 .6 解法二：过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1。 点C的坐标为1，8 点C、A都在双曲线上， SCOE = SAOF = 4 SCOE + S梯形CEFA = SCOA + SAOF . SCOA = S梯形CEFA S梯形CEFA =2+83 = 15， SCOA = 15 3 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ， OP=OQ，OA=OB 四边形APBQ是平行
4、四边形 SPOA = S平行四边形APBQ =24 = 6设点P的横坐标为mm 0且，得Pm， .7过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， 点P、A在双曲线上，SPOE = SAOF = 4假设0m4， SPOE + S梯形PEFA = SPOA + SAOF， S梯形PEFA = SPOA = 6 解得m= 2，m= 8舍去 P2，4 8 假设 m 4， SAOF+ S梯形AFEP = SAOP + SPOE， S梯形PEFA = SPOA = 6 ，解得m= 8，m =2 舍去 P8，1 点P的坐标是P2，4或P8，1.923.(金华卷,此题10分点P的坐标为m，0，在x轴上存在点Q不及
5、P点重合，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进展了探究，发现不管m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.yPQMNOx12-1-2-3-3-2-1123(第23题图)1如下图，假设反比例函数解析式为y= ，P点坐标为1， 0，图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； 温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！M1的坐标是 2 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式ykxb进展探究可得 k ，
6、 假设点P的坐标为m，0时，那么b ；3 依据(2)的规律，如果点P的坐标为6，0，请你求出点M1和点M的坐标解：1如图；M1 的坐标为1，2 2分 2， 4分各2分 3由2知，直线M1 M的解析式为x 那么(，)满足 解得 ， ， M1，M的坐标分别为，4分35、(09湖北孝感)如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= 0k2|k1|于E、F两点1图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；3分2图2中，设P点坐标为4，3判断EF及AB的位置关系，并证明你的结论；4分记，S2是否有最小值？假设有，求出其最小值；假设
7、没有，请说明理由5分 解：1； 2EFAB 证明：如图，由题意可得A4，0，B0，3， PA=3，PE=，PB=4，PF=， 又APB=EPFAPB EPF，PAB=PEFEFAB S2没有最小值，理由如下：过E作EMy轴于点M，过F作FNx轴于点N，两线交于点Q由上知M0，N，0，Q， 而SEFQ= SPEF，S2SPEFSOEFSEFQSOEFSEOMSFONS矩形OMQN= 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0k212 0S224，s2没有最小值 3. 2021广东广州市，23，12分RtABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C1，3在反比例函数y = 的图象上，且sinBAC=
8、 1求k的值和边AC的长；2求点B的坐标【答案】1把C1，3代入y = 得k=3设斜边AB上的高为CD，那么sinBAC=C1，3CD=3，AC=52分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：AD=4，AO=41=3ACDABCAC2=ADABAB=OB=ABAO=3=此时B点坐标为，0xyBACDOOxyBACD 图1 图2当点B在点A左侧时，如图2此时AO=41=5OB= ABAO=5=此时B点坐标为，0所以点B的坐标为，0或，015. 2021山东聊城，24，10分如图，一次函数ykxb的图象交反比例函数x0图象于点A、B，交x轴于点C1求m的取值范围；2假设点A的坐标是2，4，且，求m
9、的值和一次函数的解析式；【答案】1因反比例函数的图象在第四象限，所以42m0，解得m2；2因点A(2，4)在反比例函数图象上，所以4，解得m6，过点A、B分别作AMOC于点M，BNOC于点N，所以BNCAMC90，又因为BCNAMC，所以BCNACM，所以，因为，所以，即，因为AM4，所以BN1，所以点B的纵坐标为1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y1时，x8，所以点B的坐标为8，1，因为一次函数ykxb的图象过点A(2，4)，B(8，1)，所以，解得，所以一次函数的解析式为yx519. 2021四川宜宾,21,7分如图，一次函数的图象及反比例函数x0的图象相交于A点，及y轴、x轴分别相
10、交于B、C两点，且C2，0，当x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值1求一次函数的解析式；2设函数x0的图象及x0的图象关于y轴对称，在x0的图象上取一点PP点的横坐标大于2，过P点作PQx轴，垂足是Q，假设四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标21题图ABPCQyxO【答案】解：时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值A点的横坐标是-1，A-1,3设一次函数解析式为，因直线过A、C那么 解得一次函数的解析式为的图象及的图象关于y轴对称，B点是直线及y轴的交点，B0,2设P(n，)，S四边形BCQP=S梯形BOQP-SBOC=2，P，
11、22. 2021江苏南通，28，14分本小题总分值14分如图，直线l经过点A(1，0)，且及双曲线yx0交于点B(2，1)，过点P(p，p1)p1作x轴的平行线分别交曲线yx0和yx0于M，N两点.1求m的值及直线l的解析式；2假设点P在直线y2上，求证：PMBPNA；3是否存在实数p，使得SAMN4SAPM？假设存在，请求出所有满足条件的p的值；假设不存在，请说明理由.【答案】1点B(2，1)在双曲线y上，得m2.设直线l的解析式为ykxb直线l过A(1，0)和B(2，1)，解得直线l的解析式为yx1.(2) 证明：当xp时，yp1，点P(p，p1)p1在直线l上，如图.P(p，p1)p1在
12、直线y2上，p12，解得p3P(3，2)PNx轴，P、M、N的纵坐标都等于2把y2分别代入双曲线y和y，得M(1,2),N(-1,2)，即M是PN的中点，同理：B是PA的中点，BMANPMBPNA.3由于PNx轴，P(p，p1)p1，M、N、P的纵坐标都是p1p1把yp1分别代入双曲线yx0和yx0，得M的横坐标x和N的横坐标x其中p1SAMN4SAPM且P、M、N在同一直线上，,得MN=4PM即4(p)，整理得：p2p30，解得：p由于p1，负值舍去p经检验p是原题的解，存在实数p，使得SAMN4SAPM，p的值为.16. 2021四川成都，19,10分 如图，反比例函数的图象经过点，8，直
13、线经过该反比例函数图象上的点Q(4，) (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线及轴、轴分别相交于A 、B两点，及反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求OPQ的面积【答案】解：1由反比例函数的图象经过点，8，可知，所以反比例函数解析式为，点Q是反比例函数和直线的交点，点Q的坐标是4，1，直线的解析式为.2如下图：由直线的解析式可知及轴和轴交点坐标点A及点B的坐标分别为5，0、0，5，由反比例函数及直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P1，4和点Q4，1，过点P作PC轴，垂足为C，过点Q作QD轴，垂足为D， SOPQ=SAOB-SOAQ-SOBP =OAOB-OA
14、QD-OBPC=25-51-51=.3. 2021浙江省，23，12分设直线l1:y1=k1x+b1及l2:y2=k2x+b2，假设l1l2，垂足为H，那么称直线l1及l2是点H的直角线(1) 直线；和点C0,3那么直线 和 是点C的直角线填序号即可；(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A3,0、B2,7、C0,7，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，假设l1及 l2是点P的直角线，求直线l1及 l2的解析式【答案】1画图象可知，直线及直线是点C的直角线；点C的坐标似乎有问题 2设P坐标为(0，m)，那么PBPB于点P。因此，AB2=(
15、3-2)2+72=50, 又 PA2=PO2+OA2=m2+32，PB2=PC2+BC2=(7-m)2+22 ,AB2=PA2+PB2=m2+32+(7-m)2+22=50 解得：m1=1，m2=6. 当m=1时，l1为：y1=， l2为：y2=； 当m=6时，l1为：y1=, l2为：y2=；6. 2021江苏盐城，28，12分如图，一次函数y = - x +7及正比例函数y = x的图象交于点A，且及x轴交于点B.1求点A和点B的坐标；2过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以一样速度沿x轴向左
16、平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停顿运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由备用图【答案】1根据题意，得，解得 ，A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7B7，0. 2当P在OC上运动时，0t4.由SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得(3+7)4-3(4-t)- t(7-t)- t4=8整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6舍 当P在C
17、A上运动，4t7. 由SAPR= (7-t) 4=8，得t=3舍 当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. 当P在OC上运动时，0t4.AP=，AQ=t，PQ=7-t当AP =AQ时， 4-t2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，4-t2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. t=4(舍去) 当AQ=PQ时，24-t2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0 t=13 (舍) 当P在CA上运动时，4t7. 过A作ADOB于D,那么AD=BD=4.设直线l交AC于E，那么QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos
18、OAC= = ，得AQ = (t-4)当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = . 当AQ=PQ时，AEPE，即AE= AP得t-4= (7-t)，解得t =5. 当AP=PQ时，过P作PFAQ于FAF= AQ = (t-4). 在RtAPF中，由cosPAF ，得AF AP即 (t-4)= (7-t)，解得t= .综上所述，t=1或 或5或 时，APQ是等腰三角形.20. 【答案】解：1将A点的纵坐标2代入中，得，即A点的横坐标为3.再将代入中，得，正比例函数的表达式为4分2观察图象，得在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值6分3BMDM7分理由：即OCOB=108分
19、即10分20【答案】解：1点A1，4在函数y的图象上，4，得m4.2分2点Ba，b在函数y的图象上，ab4.又ACx轴于C，BDy轴于D交AC于M，ACBD于MM1，b，D0，b，C1，0tanBAC，tanDCM4分在RtAMB和RtCMD中tanBAC tanDCM，所以锐角BACDCM，DCAB6分3设直线AB的解析式为ykxbABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形. 四边形ABCD是平行四边形时，AC及BD互相平分，又ACBD，B2，2，解得直线AB的解析式为：y2x6. 当四边形ABCD是等腰梯形时，BD及AC相等且垂直，ACBD4，B4，1把A1,4、B4,1代入
20、y=kx+b解之此时直线AB的解析式y=-x+523【答案】解：1由题意：点、的坐标为、4，0，点的坐标为设所求抛物线为：把点的坐标为代入，得，所以3分2当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图1设动点的坐标为AyxyxD2图1图2D1CD4D3M2M1OBBOCAD1D2E1E2M4由1，得， 当时，过点作轴，垂足为点，那么，点的坐标为 当时，过点作轴，垂足为点，那么，解，得舍去此时，点的坐标为当，或时，同理可得由此可得点的坐标分别为7分3存在以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图2当四边形为平行四边形时， 当四边形为平行四边形时， 当四边形为平行四边形时，11分【相关知识点】抛物
21、线解析式；等腰三角形存在性；平行四边形的存在性【解题思路】第1先求出点A、B、C三点坐标，然后求抛物线解析式；第2步当为等腰三角形，分别以C、B、D三点为顶点三种情况讨论，求出点D坐标；第3步以点为顶点的四边形是平行四边形分三种情形解决23今年我国多个省市遭受严重干旱。受旱灾的影响，3月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数1234价格y元/千克2进入4月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y元/千克从4月第一周的2.8元/千克下降至第二周的2.4元/千克，且及周数的变化情况满足二次函数。1请观察题中的表格，用所学的一次函数有关知识直接写出3月份y及x所满足的一次函数关系式，并求出4月份y及x所满足的二次函数关系式；2假设3月份此种蔬菜的进价元/千克及周数所满足的函数关系为，4月份的进价m元/千克及周数x所满足的函数关系式为。试问3月份及4月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？最大利润是多少？3假设4月的第2周共销售100吨此种蔬菜，从4月的第3周起，由于受狂风的影响，比第2周每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，且使此种蔬菜的价格仅上涨了0.8a%，在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额及第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值。参考数据：