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1、第一章 随机事件和概率1排列组合公式 从m个人中挑出n个人进展排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进展组合的可能数。2加法和乘法原理加法原理两种方法均能完成此事：某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，那么这件事可由 种方法来完成。乘法原理两个步骤分别不能完成这件事：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，那么这件事可由mn 种方法来完成。3一些常见排列重复排列和非重复排列有序对立事件至少有一个顺序问题4随机试验和随机事件如果一个试验在一样条件下可以重复进展，而每次试验的可能结果不止一个，但在进展一次试验
2、之前却不能断言它出现哪个结果，那么称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。5根本领件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进展一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为根本领件，用来表示。根本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的局部点根本领件组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为1，而概率为1的事件也
3、不一定是必然事件。6事件的关系及运算关系：如果事件A的组成局部也是事件B的组成局部，A发生必有事件B发生：如果同时有，那么称事件A及事件B等价，或称A等于B：。A、B中至少有一个发生的事件：，或者。属于A而不属于B的局部所构成的事件，称为A及B的差，记为，也可表示为或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：，或者。，那么表示A及B不可能同时发生，称事件A及事件B互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合率：A()=()C A(BC)=(AB)C 分配率：()(AC)(BC) (AB)()() 德
4、摩根率： ，7概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，假设满足以下三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列完全可加性。那么称P(A)为事件的概率。8古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，那么有P(A)= =9几何概型假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述，那么称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量长度、面积、体积。10加法公式P()(A)(B)()当P()0时，P()(A)(B)11减法公式P()(A)()当时，P
5、()(A)(B)当时，P()=1- P(B)12条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，那么称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P()=1P()=1()13乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，假设P(A1A21)0，那么有。14独立性两个事件的独立性设事件、满足，那么称事件、是相互独立的。假设事件、相互独立，且，那么有假设事件、相互独立，那么可得到及、及、及也都相互独立。必然事件和不可能事件及任何事件都相互独立。及任何事件都互斥。多个事件的独立性设是三个事件，如果满足两两独立的条件，P()(A)P(B)；
6、P()(B)P(C)；P()(C)P(A)并且同时满足P()(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。15全概公式设事件满足1两两互不相容，2，那么有。16贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，那么，1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，通常叫先验概率。，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果的概率规律，并作出了“由果朔因的推断。17伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进展的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生及否及其他次试验发生及否是互不影响的。这种试验称为伯努利概
7、型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，那么发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为(1,2,)且取各个值的概率，即事件()的概率为P()，1,2,，那么称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足以下条件：1， 2。2连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，假设存在非负函数，对任意实数，有， 那么称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 。2 。3离散及连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理
8、论中所起的作用及在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。4分布函数设为随机变量，是任意实数，那么函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间 ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ；3 ， ；4 ，即是右连续的；5 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。5八大分布0-1分布P(1), P(0)二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，那么可能取值为。， 其中，那么称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，这就是0-1分布，所以0-1分布是二项分布
9、的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，那么称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布，n。超几何分布随机变量X服从参数为的超几何分布，记为H()。几何分布，其中p0，1。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数，即axb 其他，那么称随机变量在a，b上服从均匀分布，记为(a，b)。分布函数为 axb 0， xb。当ax1x2b时，X落在区间内的概率为。指数分布 ,0, ,其中，那么称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 , x0。 记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为，
10、，其中、为常数，那么称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯分布，记为。具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，为最大值；假设，那么的分布函数为exFxt-=222)(21)(smps。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。()1-(x)且(0)。如果，那么。 6分位数下分位表：；上分位表：。7函数分布离散型的分布列为，的分布列互不相等如下：，假设有某些相等，那么应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度(x)写出Y的分布函数(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出(y)。第三章 二维随
11、机变量及其分布1联合分布离散型如果二维随机向量X，Y的所有可能取值为至多可列个有序对，那么称为离散型随机量。设=X，Y的所有可能取值为，且事件=的概率为,称为=X，Y的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2x1p11p12p1jx2p21p22p2j1这里具有下面两个性质：101,2,；2连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即()xyx1时，有Fx2F(x1);当y2y1时，有F(2) F(1);3F分别对x和y是右连续的，即45对于.4离散型及连续型的关系5边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的
12、边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为6条件分布离散型在的条件下，Y取值的条件分布为在的条件下，X取值的条件分布为连续型在的条件下，X的条件分布密度为；在的条件下，Y的条件分布密度为7独立性一般型F()(x)(y)离散型有零不独立连续型f()(x)(y)直接判断，充要条件：可别离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数假设X12,1,相互独立， 为连续函数，那么：hX1，X2,和g1,相互独立。特例：假设X及Y独立，那么：hX和gY独立。例如：假设X及Y独立，那么：31和52独立。8二维均匀分布设随机向量X，Y的分布密度函数为其中为区域D的面积，那么称X，Y服从D上
13、的均匀分布，记为X，YUD。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1 xyD211 O 2 xyD3dcO a b x9二维正态分布设随机向量X，Y的分布密度函数为其中是5个参数，那么称X，Y服从二维正态分布，记为X，YN由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN但是假设XN，(X，Y)未必是二维正态分布。10函数分布根据定义计算：对于连续型，(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， (X12,)假设相互独立，其分布函数分别为，那么(X12,)的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正
14、态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设那么t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设，且X及Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征1一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P()，1,2,，要求绝对收敛设X是连续
15、型随机变量，其概率密度为f(x)，要求绝对收敛函数的期望(X) (X)方差D(X)(X)2，标准差， 矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为,即()= , 1,2, .对于正整数k，称随机变量X及EX差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=， 1,2, .对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为,即()= 1,2, .对于正整数k，称随机变量X及EX差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望EX=，方差DX=2，那么对于任意正数，有以下切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知
16、X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。2期望的性质（1） E(C)（2） E()(X)（3） E()(X)(Y)，（4） E()(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。3方差的性质（1） D(C)=0；E(C)（2） D()2D(X)； E()(X)（3） D()= a2D(X)； E()(X)（4） D(X)(X2)2(X)（5） D(XY)(X)(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(XY)(X)(Y) 2E(X)(Y)，无条件成立。而E()(X)(Y)，无条件成立。4常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布泊松分
17、布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)5二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X及Y，称它们的二阶混合中心矩为X及Y的协方差或相关矩，记为，即及记号相对应，X及Y的方差DX及DY也可分别记为及。相关系数对于随机变量X及Y，如果DX0, D(Y)0，那么称为X及Y的相关系数，记作有时可简记为。1，当1时，称X及Y完全相关：完全相关而当时，称X及Y不相关。以下五个命题是等价的：；()=0;E()(X)E(Y);D()(X)(Y);D()(X)(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X及Y，如果有存在，那么称之为X及Y的阶混合原点矩，记为；阶混合中心矩记为
18、：6协方差的性质(i) (X, Y) (Y, X);(ii) () ();(iii) (X12, Y)(X1)(X2);(iv) ()()(X)E(Y).7独立和不相关（i） 假设随机变量X及Y相互独立，那么；反之不真。（ii） 假设X，YN，那么X及Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理1大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：DC(1,2,),那么对于任意的正数，有特殊情形：假设X1，X2，具有一样的数学期望E=，那么上式成为伯努利大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，那
19、么对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率及概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1，X2，是相互独立同分布的随机变量序列，且E=，那么对于任意的正数有2中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有一样的数学期望和方差：，那么随机变量的分布函数(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量为具有参数n, p(0p1)的二项分布，那么对于任意实数x,有3二项定理假设当，那么超几何分布的极限分布为二项分布。4泊松定理假设当，那么其中0，1
20、，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布1数理统计的根本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个或多个指标的全体称为总体或母体。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量或随机向量。个体总体中的每一个单元称为样品或个体。样本我们把从总体中抽取的局部样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且及总体有一样分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量样本；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值样本值。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设为总体的一个样本，称为样本
21、函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，那么称为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩，,其中，为二阶中心矩。2正态总体下的四大分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，那么样本函数t分布设为来自正态总体的一个样本，那么样本函数其中t(1)表示自由度为1的t分布。设为来自正态总体的一个样本，那么样本函数其中表示自由度为1的分布。F分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，那么样本函数其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。3正态总体下分布的性质及独立。第七章 参数估计1点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，那么其
22、分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩的原那么建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数的矩估计量。假设为的矩估计，为连续函数，那么为的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，那么称为样本的似然函数。假设似然函数在处取到最大值，那么称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。假设为的极大似然估计，为单调函数，那么为
23、的极大似然估计。2估计量的评选标准无偏性设为未知参数的估计量。假设E =，那么称 为的无偏估计量。EX， ES2X有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。假设，那么称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有那么称为的一致估计量或相合估计量。假设为的无偏估计，且那么为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。3区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量及，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度或置信水平。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总
24、体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：i选择样本函数；由置信度，查表找分位数；导出置信区间。方差，估计均值i选择样本函数() 查表找分位数导出置信区间未知方差，估计均值i选择样本函数()查表找分位数导出置信区间方差的区间估计i选择样本函数查表找分位数导出的置信区间第八章 假设检验根本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为根本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就说明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝承受H0；如果由此没有导出不合理的现象，那么不能拒绝承受
25、H0，我们称H0是相容的。及H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平，通常我们取，有时也取或。根本步骤假设检验的根本步骤如下：(i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平查表找分位数；(iv) 由样本值计算统计量之值K；将进展比拟，作出判断：当时否认H0，否那么认为H0相容。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否认域，按照我们规定的检验法那么，应当否认H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立即否认了真实的假设，称这种错误为“以真当假的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即P否认H00为真=；此
26、处的恰好为检验水平。第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法那么，应当承受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立即承受了不真实的假设，称这种错误为“以假当真的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即P承受H01为真=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，那么变大；相反地，变小，那么变大。取定要想使变小，那么必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真、而不愿“以真当假时，那么应把取得很小，如，甚至。反之，那么应把取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否认域N0，1未知未知