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1、用公式法解一元二次方程学案解一元二次方程公式法导学案（新版新人教版） 第4课时解一元二次方程-公式法一、学习目标了解驾驭一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的状况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；驾驭公式结构，知道运用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式推断根的状况；学会利用求根公式解简洁数字系数的一元二次方程二、学问回顾1什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用干脆开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；
2、（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用干脆开平方法解得方程的根2怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a0)的一元二次方程？解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即：，因为所以当；当三、新知讲解一元二次方程根的判别式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即一元二次方程根的状况与判别式的关系（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，
3、当时，它的两个根分别是，这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a0)；确定a，b，c的值；求出的值，并推断方程根的状况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根当时，将a，b，c和的值代入公式（留意符号） 四、典例探究 1依据根的判别式推断一元二次方程根的状况【例1】（2022重庆）已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的状况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根两个根都是自然数D无实数根总结：求根的判别式时，应当先将方程化为一般形
4、式，正确找出a，b，c的值.根的判别式与一元二次方程根的状况的关系如下：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根练1（2022铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列说法不正确的是（）A方程有两个相等的实数根B方程有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定练2（2022泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判别方程根的状况；（2）若方程有一个根为3，求m的值 2依据一元二次方程根的状况求参数的值或取值范围【例2】（2022温州）若关于x的一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A1B1C4
5、D4总结：已知方程根的状况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再依据方程根的状况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应留意“二次项系数不为0”练3（2022凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3且m2Dm3且m2 3用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x 总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而干脆利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要留意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b
6、，c的值；（2）必需保证b2-4ac0练4（2022锦江区模拟）解方程：x（x2）=3x+1 练5当x是何值时，3x2+4x8的值和2x21的值相等？ 五、课后小测一、选择题1（2022云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A4x25x+2=0Bx26x+9=0C5x24x1=0D3x24x+1=02（2022贵港）若关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A1B0C1D23（2022烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，则n的值为（）A9B10C9或10D8或104（2022株洲）有两个一元
7、二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）A假如方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B假如方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D假如方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15（2022日照）已知一元二次方程x2x3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A2x11B3x12C2x13D1x10二、填空题6（2022秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=，x1=，x2=三、解答题7（2022秋通山县期中）用公
8、式法解方程：2x24x=5 8（2022秋金溪县校级月考）解方程：2x22x5=0 9（2022春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4 10（2022梅州）已知关于x的方程x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根 11（2022咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 12（2022昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实
9、数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|=2，求m的值 13（2022南充一模）已知关于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根（2）小华补充说，其中一个根与k无关请你说说其中的道理典例探究答案：【例1】（2022重庆）已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的状况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根分析：推断方程的根的状况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了解答：解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）2423=10，方程有两个不相等的实数根故选：A点评：此
10、题主要考查了一元二次方程根的判别式，要娴熟驾驭一元二次方程根的状况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根练1（2022铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列说法不正确的是（）A方程有两个相等的实数根B方程有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定分析：先求出的值，再推断出其符号即可解答：解：=4243（5）=760，方程有两个不相等的实数根故选B点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键练2（2022泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（
11、1）不解方程，判别方程根的状况；（2）若方程有一个根为3，求m的值分析：（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，依据其值的正负即可作出推断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值解答：解：（1）a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）241（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有两个不相等的实数根；（2）x2+2mx+m21=0有一个根是3，32+2m3+m21=0，解得，m=4或m=2点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的状况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3
12、）0方程没有实数根也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即用这个数代替未知数所得式子仍旧成立【例2】（2022温州）若关于x的一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A1B1C4D4分析：依据方程根的状况与判别式的关系知=4244c=0，然后解一次方程即可解答：解：一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，=4244c=0，c=1，故选B点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根练3（2022
13、凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3且m2Dm3且m2分析：依据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac的意义得到m-20且0，即22-4（m-2）10，然后解不等式组即可得到m的取值范围解答：解：关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，m-20且0，即22-4（m-2）10，解得m3，m的取值范围是m3且m2故选：D点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根
14、【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x分析：（1）求出b24ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b24ac的值，代入公式y=求出即可；（3）求出b24ac的值是负数，即可得出原方程无解解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=2，b24ac=2241（2）=120，x=1，x1=1+，x2=1；（2）这里a=1，b=3，c=1b24ac=（3）2411=50，?y=，y1=，y2=；（3）移项，得x22x+3=0，这里a=1，b=2，c=3?b24ac=（2）2413=40原方程没有实数根?点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程
15、的实力，前提是先推断判别式的符号，再依据状况代入求根公式求解练4（2022锦江区模拟）解方程：x（x2）=3x+1分析：整理后求出b24ac的值，再代入公式求出即可解答：解：x（x2）=3x+1，整理得：x25x1=0，b24ac=（5）241（1）=29，x=，x1=，x2=点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中练5当x是何值时，3x2+4x8的值和2x21的值相等？分析：依据3x2+4x8的值和2x21的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解解答：解：依据题意得：3x2+4x8=2x21，即x2+4x7=0，a=1，b=4，c=7
16、，=b24ac=16+28=440，则x=2点评：本题考查了公式法解一元二次方程，留意公式运用的条件：判别式0课后小测答案：一、选择题1（2022云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A4x25x+2=0Bx26x+9=0C5x24x1=0D3x24x+1=0解：A、=25424=70，方程没有实数根，故本选项正确；B、=36414=0，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；C、=1645（1）=360，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D、=16413=40，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；故选A2（2022贵港）若关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，则整数
17、a的最大值为（）A1B0C1D2解：关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，=（2）28（a1）=128a0且a10，a且a1，整数a的最大值为0故选：B3（2022烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，则n的值为（）A9B10C9或10D8或10解：三角形是等腰直角三角形，a=2，或b=2，a=b两种状况，当a=2，或b=2时，a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，x=2，把x=2代入x26x+n1=0得，2262+n1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=
18、9不合题意，当a=b时，方程x26x+n1=0有两个相等的实数根，=（6）24（n1）=0解得：n=10，故选B4（2022株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）A假如方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B假如方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D假如方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1解：A、假如方程M有两个相等的实数根，那么=b24ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、假如方程M的两根符号
19、相同，那么方程N的两根符号也相同，那么=b24ac0，0，所以a与c符号相同，0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、假如5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、假如方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，结论错误，符合题意；故选D5（2022日照）已知一元二次方程x2x3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A2x11B3x12C2x13D1x10解：x2x3=0，b24ac=（1）241（3）=
20、13，x=，方程的最小值是，34，34，2，2，1故选：A二、填空题6（2022秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=41，x1=，x2=解：2x27x+1=0，a=2，b=7，c=1，b24ac=（7）2421=41，x=，x1=，x2=，故答案为：41，三、解答题7（2022秋通山县期中）用公式法解方程：2x24x=5解：原方程可化为：2x24x5=0，a=2，b=4，c=5，b24ac=（4）242（5）=560，x=frac4sqrt564=1x1=1+，x2=18（2022秋金溪县校级月考）解方程：2x22x5=0解：这里a=2，b=2，c=5，=8+4
21、0=48，x=9（2022春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4解：整理得：x2+2x4=0，=b24ac=（2）241（4）=28，x=，x1=+，x2=10（2022梅州）已知关于x的方程x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根解：（1）b24ac=（2）241（a2）=124a0，解得：a3a的取值范围是a3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是1，该方程的另一根为311（2022咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，
22、方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根解：（1）=（m+2）28m=m24m+4=（m2）2，不论m为何值时，（m2）20，0，方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=，x2=1，方程有两个不相等的正整数根，m=1或2，m=2不合题意，m=112（2022昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|=2，求m的值解：（1）=（m+3）24（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+40，无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）x1、x
23、2是原方程的两根，x1+x2=m3，x1x2=m+1，|x1x2|=2，（x1x2）2=8，（x1+x2）24x1x2=8，（m3）24（m+1）=8，m1=1，m2=313（2022南充一模）已知关于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根（2）小华补充说，其中一个根与k无关请你说说其中的道理解：（1）=4（k1）24k（k2）=40，一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）总有两个不相等的实数根；（2）当x=1时，k2（k1）+k2=0，即一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）有一根为1，x=1是一元二次方程kx22
24、（k1）x+k2=0（k0）的根，与k无关 用配方法解一元二次方程学案 【学习目标】1.知道什么叫开平方法。2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。【学习过程】一.复习回顾：1.平方根的定义_。2.求下列各数的平方根：4，6，0，12.3.负数有没有平方根？相关学问链接：为美化校内，我校确定将校内中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应当增加多少？解：设边长应增加x米，依据题意可列方程_同学们思索，怎样解这个方程？二.探求新知：自学课本80页内容，再依据平方根的意义，解下列方程x2=9x2=6(x+3)2=1(x-2)2=2 方法总结：通过学习，总结
25、以上各题的特点：1.假如一个一元二次方程一边是_另一边是_就可以用开平方法求解。2.利用开平方解一元二次方程，肯定留意方程有_个解。三.典型例题：例1.解方程：4x2-7=0 对应练习：解方程49x2=250.5x2-32=02x2=39x2-8=0例2.9（x-1）2=25 对应练习：（1）（x+1）2=16（2）(6x-1)2=81 小结： 当堂测试：1.下列方程，能否用开平方法求解（）（1）2x2=1（2）3x2+1=0（3）9(x-2)2=25（4）x2-4x+4=92.利用开平方法解方程：(1)4x2=9(2)2(x-3)2=8 3.解方程：（x+）(x-)=2 4、解方程x2-10
26、x+25=7 配方法解一元二次方程 公开课教案 授课人:henao6202授课时间：2022-3-27 授课地点：中学八（1）班公开范围：数学组 授课内容：20.2一元二次方程解法（3）-配方法 教学目标：理解配方法的意义，会用配方法解简洁的数字系数的一元二次方程。 教学重点：配方法解一元二次方程 教学过程： 一、复习旧知导入新课 1、因式分解的完全平方公式内容。a22ab+b2=(ab)2 2、填空： （1）x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2 (3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2 说明：配方的关键是两边同加上一次项系数一半的平
27、方，前提是二次项系数是1。 二、讲解新课 1、解方程(1)(x+3)2=2 解：x+3= x=-3 即：x1=-3+x2=-3- (2)x2+6x+7=0 这个方程明显不能用干脆开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x+m)2=n的形式。 我们可以这样变形： 把常数项移到右边，得 x2+6x=-7 对等号左边进行配方，得 x2+6x+32=-7+32 (x+3)2=2 这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了。像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后（即化为（x+m）2=n形式），再用开平方来解的方法叫配方法。 （板书）（一）、一元二次方程解法二：配方法 2、例
28、1用配方法解下列方程： （1）x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0说明：第（1）小题引导学生自己完成，其次小题引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成。 解：（1）移项，得 x2-4x=1 配方，得 x2-4x+22=1+22 (x-2)2=5 开方，得 x-2= x1=2+x2=2- (2)化二次项系数为1，得 x2-x-=0 移项，得 x2-x= 下面的过程由学生补充完整： - - 三、归纳小结 配方法的一般步骤（让学生总结，在黑板上板书） 1、化二次项系数为1 2、移项 3、配方（两边同加上一次项系数一半平方） 4、开方 其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。 四、练习 P40练习1、2 五、课外作业 P451、2 六、板书设计 20.2一元二次方程解法 （一）一元二次方程解法二-配方法例1解方程 （二）配方法的一般步骤（1）x2-4x-1=0 1、化二次项系数为1(2)2x2-3x-1=0 2、移项解：- 3、配方（两边同加一次项系数一半平方）- 4、开方- 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页