建立二次函数模型3.docx

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1、建立二次函数模型3建立二次函数模型2教案2.1建立二次函数模型教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。2、使学生经验、探究二次函数y=ax2图象性质的过程，培育学生视察、思索、归纳的良好思维习惯重点难点：重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探究二次函数性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何探讨的?(先画出一次函数的图象，然后视察、分析、归纳得到一次函数的性质)2我们能否类比探讨一次函数性质方法来探讨二次函数的性质呢?假如

2、可以，应先探讨什么?(可以用探讨一次函数性质的方法来探讨二次函数的性质，应先探讨二次函数的图象)3一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=ax2的图象。解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x3210123y9410149(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。提问：视察这个函数的图象，它有什么特点?让学生视察，思索、探讨、沟通，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对

3、称轴的交点叫做抛物线的顶点三、做一做1在同始终角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，视察并比较两个图象，你发觉有什么共同点？又有什么区分?2在同始终角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，视察并比较这两个函数的图象，你能发觉什么?3将所画的四个函数的图象作比较，你又能发觉什么?对于1，在学生画函数图象的同时，老师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生探讨选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区分，可分组探讨。沟通，让学生发表不同的看法，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区分在于函数y=x2的图象开口向上，函

4、数y=-x2的图象开口向下。对于2，老师要接着巡察，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；老师可引导学生类比1得出。对于3，老师可引导学生从1的共同点和2的发觉中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)四、归纳、概括函数yx2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数yx2、y=-x2、y2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_。假如要更细致地探讨函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生视察yx2、y2x2的图象，填空；当a0时，抛物线y=ax

5、2开口_，在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_，_是抛物线上位置最低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生视察下图，回答以下问题；(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？(2)yA、yB大小关系如何?(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?(4)yC、yD大小关系如何?(XAXB，且XA0，XB0；yAyB；XCXD，且XC0，XD0，yCyD)其次，让学生填空。当X0时，函数值y随着x的增大而_，当XO时，函数值y随X的增大而_；当X_时，函数值y=ax2(a0)取得最小值，最小值y=_以上结论就是当a0时，函数y=ax2的性质。思索以下问题：视

6、察函数y-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当aO时，抛物线yax2有些什么特点?它反映了当aO时，函数y=ax2具有哪些性质?让学生探讨、沟通，达成共识，当aO时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当aO时，函数y=ax2的性质；当x0时，函数值y随x的增大而增大；与xO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值yax2取得最大值，最大值是y0。五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。六、作业：1如何画出函数y=ax2的图象?2函数yax2具有哪些性质?3谈谈你对本节课学

7、习的体会。相识二次函数 34.1相识二次函数（第1课时）教案 教学任务分析 教学 目标 学问与技能 1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上相识二次函数的性质； 3会依据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简洁的实际问题； 过程与方法 通过画二次函数的图象，提高动手实力； 经验画图、视察、分析、总结、归纳的过程，总结出二次函数的性质. 情感看法价值观 体会数形结合的思想方法； 重点 二次函数的图象和性质； 难点 函数性质的应用. 教学流程支配 活动说明 活动目的 活动1回顾一次函数 活动2

8、二次函数概念学习 活动3解析 活动4视察 活动5布置作业 为二次函数的学习做打算 学二次函数的有关概念 巩固二次函数 小结复习 加强练习 课前打算 教具 学具 补充材料 电脑、投影仪 课件资源、投影仪 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 活动1： 1.我们以前学过函数，函数是用来描述一个量与另一个量之间的对应关系的，大家回忆一下，我们到现在都学过哪些函数？ 2.请描述一下你对一次函数、反比例函数是如何理解的. 3.在现实生活中，我们除了接触到一次函数、反函数，我们还会遇到另外一种函数二次函数，现在我们就来相识二次函数. 活动2： 我们看引言中正方体的表面积的问题. 正方体的六个面是全

9、等的正方形（图26.11），设正方体的棱长为x，表面积为y，明显对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的详细关系可以表示为 y6x2 我们再来看几个问题. 问题1多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 问题2某工厂一种产品现在的年产量是20件，安排今后两年增加产量.假如每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随安排所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎么样表示？ 小组探讨，引导学生找出其中的量与量之间的关系，列出函数式. 活动3：解析 问题1由图26.12可以想出，假如多边形有n条边，那么它有_个顶点.从一个顶点动身，连接与这点不相邻的各顶点，可以作_条对

10、角线. 因为像线段MN与NM那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形的对角线总数 , 即 . 式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值，d都有一个对应值，即d是n的函数. 问题2这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_件，再经过一年后的产量是_件，即两年后的产量为 y20（1x）2, 即 y20x240x20. 式表示了两年后的产量y与安排增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 活动4：视察 函数有什么共同点？与我们已学过的正比例函数，反比例函数和一次函数有什么不同？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的.一

11、般地，形如 yax2bxc（a,b,c是常数，a0） 的函数，叫做二次函数（quadraticfunction）.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 现在我们学习过的函数有：一次函数yaxb（a0）,其中包括正比例函数ykx（k0）,反比例函数和二次函数yax2bxc（a0）. 可以发觉，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系. 活动5：练习 1一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 2n支球队参与竞赛，每两队之间进行一场竞赛.写出竞赛场次数m与球队数n之间的关系式. 活动6：小结 学生探讨，总结出本节所学的学问.

12、师引导设问 学生回答 师引导设问 学生活动：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k0）的函数是一次函数，例如：y=2x+1，y=x等都是一次函数.形如y=（k0）的函数就是反函数，例如：y=. 引导设问 学生解答，老师点评 学生解答老师点评 学生解答老师巡察指导 学生解答老师点评 学生回答老师点评 学生解答老师点评 并赐予激励 生回答问题，老师点评. 学生探讨 回忆到现在都学过的函数 回忆一次函数、反比例函数的概念 引出二次函数 从实际情境中感受二次函数 相识二次函数 加深对二次函数的相识 学二次函数的概念 加深一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的相识 对二次函数的概念进行巩固 总

13、结本节学问 二次函数教案 20.1二次函数 一、教学目标： 1学问与技能： 通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过视察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够依据函数特征识别二次函数. 2数学思索： 学生能对详细情境中的数学信息作出合理的说明，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系. 3解决问题： 体验数学与日常生活亲密相关，让学生相识到很多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程. 4情感与看法： 通过视察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创建胜利机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培育学生勇于探究，主动合作精神以及公允竞争的意识.

14、二、教学重点、难点： 教学重点：相识二次函数，经验探究函数关系、归纳二次函数概念的过程. 教学难点：依据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念. 三、教学方法和教学手段： 在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生视察、比较、分析和概括，以小组探讨的形式，进行合作探究 在教学手段方面，选择了多媒体课件协助教学的方式 四、教学过程： 师生活动设计意图 1、问题感知，情境切入. 老师展示实际问题： “第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目

15、，一般状况下，足球运动员的状态会随着时间的改变而改变：竞赛起先后，球员渐渐进入状态，中间有一段时间球员保持较为志向的状态，随后球员的状态渐渐下降.经试验分析可知：球员的状态综合指数y随时间t的改变规律有如下关系： （1）竞赛起先后第10分钟时与竞赛起先后第50分钟时比较，什么时间球员的状态更好？ （2）竞赛起先后多少分钟时，球员的状态最好，这样的最好状态能持续多少分钟？ 通过学生之间的探讨，很简单得出第（1）问的答案：竞赛起先后第10分钟时，y=140；竞赛起先后第50分钟时，y=220；所以，竞赛起先后第50分钟时球员的状态更好. 当学生起先进行第（2）问的解答时，遇到了不同的困难： （1）

16、不知道如何探讨当50t90时，y的改变范围？ （2）通过仿照一次函数的性质，学生求出了函数y=中，y的改变范围是.却无法说出这样做的数学依据是什么？ 全部的困难都指向一个焦点问题： y=是个什么样的函数？它具有什么样的独特性质？ 因此，学生产生了探讨函数y=的爱好，老师趁机提出今日的学习内容. 以“世界杯足球赛”这样贴近学生生活实际的问题为背景，力求更好地激发学生的求知欲，使之成为主动、主动的探究者，并在解决实际问题的过程中体验胜利的欢乐，同时为新课的引出和学习奠定了基础. 这是一道结合实际的自编题，其中的数据来源于自己做的社会调查.足球运动是一项集体运动项目，对运动员的协作意识要求很高，所以

17、运动员上场后30分钟左右才进入最佳状态，中场休息后状态仍能保持到最佳，50分钟后由于体能的下降影响了状态的发挥. 2、讲解新课，提炼学问. （1）对比、分析 老师举诞生活中的其它实例，感受二次函数的意义，进一步深化对二次函数概念的相识. 如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积Q(cm2)和正方形的边长a(cm)的函数关系式是_ 某种药品现价每盒26元，安排两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格M（元）和年降价率p的函数关系式是_ 答案：M=26(1-p)2 （2）类比、迁移 老师顺势提问：对y=、Q=a2-16、M=26(1-p)2这三个函数你能用一个一般形式来表示吗

18、？ 老师参加到学生的分组探讨中去，合作沟通，留意刚好抓住学生才智火花的出现进行引导.老师激励学生用不同字母表示，只要把握概念的实质即可，必要时可提示学生，类比一次函数的学问. （3）二次函数的相识 一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（a0）（说明：括号内的条件，在第(4)步之后再补写）的函数叫做二次函数，其中a、b分别是二次项系数、一次项系数，c是常数项. （4）加深理解 二次函数的定义给出后，老师引导学生分别探讨“a、b、c的取值范围”.学生就问题自由发言，老师充分引导学生发表自己的看法，只要合理，都应确定.最终师生达到共识： a不能为0，因为当a=0时，右边不再是x的二次式； b、c都

19、能为0，因为当b=0、c=0或b、c都为0时，右边仍是x的二次式. 老师对所得出的常量范围，进行概念补写. 通过两个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思索所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础. 引导学生侧重从解析式的特征思索，透过“引用不同字母”的表层现象，看到解析式的“结构一样”的本质.放开思想，广泛争论，实现对二次函数本质的相识. 充分确定学生的探究结果，使其树立“我也能发觉数学”的信念. 老师的提问意在引起学生的思维冲突，使之产生探究的欲望. 遵循学生认知发展及学问系统的形成过程，由一般到特别逐步为概念的理解铺平道路. 3、分层实践，实力升级. 快速抢答 下面各函数中，

20、哪些是二次函数？ （1）y=2x2y=x2+3 y=（x0）y=15x-1 y=(x+1)2+2y=3x2-2x-5 y=-x（x2+4）y= 答：、是二次函数 （2）请写出这些二次函数中a、b、c的值. abc y=2x2200 y=x2+3 03 y=(x+1)2+2 =x2+2x+3123 y=3x2-2x-53-2-5 特殊强调：只有把解析式整理成一般形式，才能正确推断解析式中的a、b、c. 1.轻松完成：矩形的周长为20cm，它的面积S（cm2）和它的一边长a（cm）的函数关系式是怎样的？并求出此函数的定义域. 答案：S=a(10-a)=-a2+10a, 其中函数的定义域为：0a10

21、. 2.物理中的数学：钢球从斜面顶端由静止（运动起先时的速度V0=0）起先沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s （1）写出即时速度Vt与时间t的函数关系式； （2）写出平均速度与时间t的函数 关系式；（提示：本题中，平均速度） （3）写出滚动的距离S（单位：米）与滚动的时间t（单位：秒）之间的关系式.（提示：本题中，距离S=平均速度时间t） （4）请推断以上三个函数的类型，假如是二次函数，写出解析式中的a、b、c. 答案： （1）Vt=1.5t； （2）=； （3）S=t=； （4）函数Vt=1.5t和=是一次函数，函数S=是二次函数，解析式中的a=，b=0，c=0. 3.请你帮个忙：某果园有

22、100棵橘子树，每一棵树平均结600个橘子.现打算多种一些橘子树以提高产量，但是假如多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会削减.依据阅历估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.那么，如何表示增种的橘子树的数量x（棵）与橘子总产量y（个）之间的函数关系式呢？推断这个函数的类型，假如是二次函数，写出解析式中的a、b、c. 答案： 解析式中的a=-5，b=100，c=60000. 4.你出题大家做如图，正方形ABCD的边长是5，E是AB上的一个动点，G是AD的延长线上一点，且BE=DG，GFAB，EFAD，_? 请同学们以小组为单位尝试编一道实际函数问题，列出的函数关系是可以

23、是二次函数，也可以是一次函数. 估计学生可能想到： 矩形AEGF的面积y与BE的长x 之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： 矩形AEMD的面积y与BE的 长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： 矩形BEMC的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： 矩形DMFG的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： 其它类型：六边形ABCMFG的周长y与BE的长x之间的函数关系；矩形AEGF的周长y与BE的长x之间的函数关系； 这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，同时相识二次函数解析式中a、b、c的意义. 通过求函数的定义域，让学生体会实

24、际问题中的二次函数的特点。 通过这道题的支配，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判定二次函数的方法，进一步了解不同函数的差异，从而对函数的本质有更深化了解。 这道实际问题的解决，培育了学生的视察实力和归纳实力，更重要的是让学生体验了实际问题“数学化”的过程. 爱好是学习的动力源泉，学生在参加编题的过程中，培育了与人合作的精神和创新意识，通过学生多层次、多角度地解决问题的方式，使原本枯燥的数学课堂渐渐被开放、热情，富于创建性的课堂气氛所代替，成为激发学生潜力的最佳土壤. 4、展示沟通，总结新知. （1）学生自己总结，并在班上沟通 本节课 我学会

25、了 使我感受最深的 我感到最困难的是 我最值得学习的同学是 （2）结合学生所述，老师赐予指导： 正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的留意问题. 生活中到处有数学的影子，只要留心视察身边的事物，开动脑筋，就能用数学学问解决很多的生活实际问题. 课堂小结以老师提问、学生自由探讨的形式进行，借此促进师生心灵的沟通，学生对自己醒悟的相识和总结，必定促进其自主学习，获得可持续发展的动力. 5、布置作业、巩固学问. （1）阅读教材相应内容，完成课后习题第45-46页第1、2题. （2）实践题： 推想植物的生长与温度的关系 科幻小说试验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的

26、环境中，经过肯定时间后，测试出这种植物的增长状况（如下表） 温度t/-7-5-3-11357 植物高度 增长量L/mm12541494941251 由这些数据，科学家推想出植物的增加量L与温度t的函数关系，并由它推想出最适合这种植物增长的温度. 你能想出科学家是怎样推想的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，依据图象写出你的分析. 必做题促进学问的巩固，实践题供学有余力的学生完成，进一步培育发散思维及社会实践实力. 设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔. 五、教案设计说明: 1留意联系实际，渗透用教学

27、的意识，力求呈现“问题情景建立数学模型说明、应用与拓展”的过程，让“人人学有价值的数学”.教学中以实际问题主线贯穿整个教学，强调详细问题的分析、抽象，渗透数学建模思想.注意问题的实际意义，选用贴近学生生活和具有时代气息的例题、习题，激发学生的爱好，使学生体会二次函数在现实世界中的作用. 2给学生供应探究和沟通的空间，数学活动力求避开单纯的依靠仿照与记忆，而是一个生动活泼、主动和富有特性的过程.围绕本节课所学学问，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生主动思索，引导学生自主探究与合作沟通，既能在探究中获得学问，又能不断丰富数学活动的阅历，学会探究，学会学习，提高解决问题的实力，发展创

28、新意识和实践实力. 3谈化概念的形式记忆，关注概念的实际背景与形成过程，采纳直观导入、动手操作的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念，并初步学会应用. 4内容设计有弹性，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.关注学生群体的差异，敬重学生的个体差异，满意多样化的学习须要，所设置的问题既能使全部学生参加，又有肯定的拓展、探究余地和广袤的思维空间，使全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页