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1、数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法化归思想化归思想化归思想化归思想 化归思想化归思想 对某些数学问题，如果直接应用对某些数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，已有知识不能或不易解决该问题时，可以将需要解决的问题不断转化形式，可以将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化与归结）种思想方法称为化归（转化与归结）思想。思想。 在学校教育中，数学知识呈现一个在学校教育中，数学知识呈现一个由易到难由易到难、从简到繁从简到繁的过程；然而
2、，人的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。一，具有重要的意义和作用。化归思想化归思想 化归所遵循的原则：化归所遵循的原则
3、： 化归思想的实质就是在已有的简单、化归思想的实质就是在已有的简单、具体、基本的知识的基础上，具体、基本的知识的基础上，把未知把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规规化为常规，从而解决各种问题。因，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：基本原则：化归思想化归思想（1 1）数学化原则数学化原则：即把生活中的问题转：即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。应用数学知
4、识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题。数学化的过解决生活中的各种问题。数学化的过程在某种程度上来说就是把生产生活程在某种程度上来说就是把生产生活实际中的问题进行符号化的过程。实际中的问题进行符号化的过程。化归思想化归思想（2）熟悉化原则熟悉化原则 即把陌生的问题转即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对解决疑难问题的过程，也
5、是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准课程标准提倡培养学生的探索能提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个重要的原则。一个重要的原则。化归思想化归思想（3 3）简单化原则简单化原则 即把复杂的问题转即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决复
6、杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。技巧和捷径，也不失为一种上策。化归思想化归思想（4 4）直观化原则直观化原则 即把抽象的问题即把抽象的问题转化为具体的问题转化为具体的问题。数学数学的的特点之一特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是比较容易分析
7、解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。的原则之一。化归思想化归思想 教材中的数学问题，可以简单的分教材中的数学问题，可以简单的分为两类：为两类： 一类是直接应用已有知识便可顺利一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；解答的问题； 另一种是陌生的知识或者不能直接另一种是陌生的知识或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决问题。应用已有知识或创造性地解决问题。这两类数学问题，你能举例么？这两类数学问题，你能举例么？化归思想化归思想例：知道一个长方形的长和宽，求它的面例：知道一
8、个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形公式的人，都可以积，只要知道长方形公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；计算出来，这是第一类问题； 如果不知道平行四边形的面积公式，如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。面积，这是第二类问题。 对于广大中小学生来说，他们在学对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第以归为第二类问题，并且要不断地把第二种问题转
9、化为第一类问题。二种问题转化为第一类问题。化归思想化归思想知识知识知识点知识点应用举例应用举例数与数与代数代数四则运四则运算意义算意义乘法的意义：若干个相同的数相加乘法的意义：若干个相同的数相加的一种简便算法的一种简便算法除法的意义：乘法的逆运算除法的意义：乘法的逆运算 四则运四则运算法则算法则小数加减法：小数点对齐，然后按小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算照整数的方法进行计算小数乘法：先按照整数乘法的方法小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点进行计算，再点小数点小数除法：除数转化为整数，注意小数除法：除数转化为整数，注意被除数小数点与商的小数点对齐。被除数小数点与
10、商的小数点对齐。分数加减法：异分母加减法转化为分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法同分母加减法分数除法：转化为分数乘法分数除法：转化为分数乘法化归思想在小学数学中应用化归思想在小学数学中应用数与数与代数代数运算关系运算关系a+b=c c-a=b ab=c a=cb简便计算简便计算利用运算定律进行简便计算利用运算定律进行简便计算方程方程解方程：解方程的过程，实际就解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边是不断把方程转化为未知数前边的系数是的系数是1的过程（的过程（x=a） 解决问题解决问题的策略的策略化繁为简化繁为简化抽象为直观：用线段图、图表、化抽象为直观：用线段图、图表
11、、图像等直观表示数量之间的关系，图像等直观表示数量之间的关系，帮助理解。帮助理解。化实际问题为数学问题化实际问题为数学问题化一般问题为特殊问题化一般问题为特殊问题化未知问题为已知问题化未知问题为已知问题化归思想在小学数学中应用化归思想在小学数学中应用空空 间间 与与 图图 形形三角形三角形内角和内角和通过操作把三个内角转化为平角通过操作把三个内角转化为平角多边形多边形内角和内角和转化成三角形求内角和转化成三角形求内角和 面积公面积公式式正方形的面积：转化为长方形求面积正方形的面积：转化为长方形求面积平行四边形求面积：转化成长方形求面积平行四边形求面积：转化成长方形求面积三角形的面积：转化为平行
12、四边形求面积三角形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积圆的面积：转化为长方形求面积圆的面积：转化为长方形求面积组合图形面积：转化为求基本图形的面积组合图形面积：转化为求基本图形的面积化归思想在小学数学中应用化归思想在小学数学中应用空空 间间图图形形 体积公式体积公式正方体的体积：转化为长方体求体正方体的体积：转化为长方体求体积积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆锥的体积：转化为圆柱求体积圆锥的体积：转化为圆柱求体积统统计计与与概概率率统计图和统计图和统计表统计表运用不同的统计图表述各种数据运用不同的统计图
13、表述各种数据可能性可能性运用不同的方式表示可能性的大小运用不同的方式表示可能性的大小化归思想在小学数学中应用化归思想在小学数学中应用解决问题中的化归思想解决问题中的化归思想化归思想化归思想（1）化抽象问题为直观问题。化抽象问题为直观问题。 从数的认识到计算，直观操作帮从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法；解决问题中画线段助理解算理算法；解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理；图表等帮助理解数量关系，进行推理；用图表进行推理；用图表进行推理；函数图像直观地表示变量间的关系；函数图像直观地表示变量间的关系；统计图表直观地表示数据。统计图表直观地表示数据。?.21.21212nAB
14、将线段将线段AB二等分，再将余下的线段二等分，再将余下的线段二等分，无限次重复下去，再将这样得二等分，无限次重复下去，再将这样得到的每一条小线段加起来，就是线段到的每一条小线段加起来，就是线段AB的长度。的长度。化归思想化归思想（2）化繁杂问题为简单问题。化繁杂问题为简单问题。 有些数学问题比较复杂，直接解答有些数学问题比较复杂，直接解答过程比较繁琐，如果在结果和数量关系过程比较繁琐，如果在结果和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或行适当检验，如果能
15、够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。得到解决。 化归思想化归思想 例：把例：把256拆分成两个自然数的和，怎拆分成两个自然数的和，怎么样拆分才能使拆分的两个自然数乘积么样拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大？最大？257呢？呢？ 分析：分析：通过通过对对10以内的自然数拆分可知以内的自然数拆分可知,偶数拆分为两个相等的自然数时偶数拆分为两个相等的自然数时,积最大积最大,由此可以类比出周长相同的正方形面积由此可以类比出周长相同的正方形面积比长方形面积大比长方形面积大.在周长相等的长方形中在周长相等的长方形中,长和宽的差距越小长和宽的差距越小,面积越大面积越大. 化归思想化归思想（3）化一般问题为特殊问题。化一般问题为特殊问题。 例：某旅行团队翻越一座山。上午例：某旅行团队翻越一座山。上午9时时上山，每小时行上山，每小时行 3千米，到达山顶时，千米，到达山顶时，休息休息1小时。下山时，每小时行小时。下山时，每小时行4千米，千米，下午下午4时到达山底。全程共行了时到达山底。全程共行了20千米。千米。上山和下山的路程各是多少千米？上山和下山的路程各是多少千米？化归思想化归思想活动：活动： 把握把握化化归思想来教学：异分母分数加归思想来教学：异分母分数加法。法。化归思想化归思想