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1、2.2.1 综合法和分析法（教案） 1. 教材分析 证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。2. 教学目标 一知识与技能目标（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点二过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力三情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直
2、接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力3. 教学重点/难点 教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点。教学难点：综合法和分析法的应用。4. 学情分析学生在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，帮助学生对证明数学问题的方法形成较完整的认识。5. 教学过程一、复习引入回顾基本不等式： (a0,b0)的证明过程：- 4 -法一: 因为; 所以所以所以 成立二、探索新知法二：要证; 只需证;只需证;只需证;因为; 成立所以 成立1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、
3、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫由因导果法或顺推证法.特点:“执因索果”推理过程：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 特点：执果索因.推理过程： 二、例题分析例1：已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc证明：因为 b2+
4、c2 2bc,a0所以 a(b2+c2)2abc.又因为 c2+b2 2bc,b0所以 b(c2+a2) 2abc.因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C， 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o， 所以B=60o 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 化简得：a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c，从而有A=C A=B=C=60o。 所以三角形AB
5、C是等边三角形。【学生练习】1、在ABC中，已知cosAcosAsinAsinB,则ABC的形状一定是 钝角三角形 2、下面的四个不等式：a2+b2+3ab+（a+b）；a(1-a)；2；（a2+b2）(c2+d2)（ac+bd）2.其中恒成立的有 评注：用综合法证明不等式时常用的结论：（1）（）(2) 例3:设a,b为实数，求证： 证明：当a+b0时，0 成立。 当a+b0时，用分析法证明如下： 要证，只需证即证。即证2ab2ab对一切实数恒成立所以成立。综上所述，不等式成立【学生练习】已知a0，求证：三、归纳小结1、综合法处理问题的三个步骤：分析条件，选择方向转化条件，组织过程适当调整，回顾反思。2、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法。3、综合法优点：条理清晰，易于表述 证明格式：因为/由可知 所以 所以 综上所述，原命题成立4、分析法优点：解题方向比较明确，利于寻找解题思路 证明格式：要证 只需证 只需证 即证 因为恒成立 所以原命题成立四、课后作业