《2022年双曲线经典例题参考 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年双曲线经典例题参考 .pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、习题精选精讲- 1 - - 1 - 本文来自http:/整理、 【例 1】若椭圆0122nmnymx与双曲线221xyab)0(ba有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2| 的值是（）A. am B. am21 C. 22am D. am【解析】椭圆的长半轴为1221mPFPFm，双曲线的实半轴为1222aPFPFa，2212121244PFPFmaPFPFma：，故选 A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例 2】已知双曲线127922yx与点 M （5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点P，使PMPF21最小，则 P 点的坐
2、标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数 . 由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F（6，0） ，离心率2e，右准线为32lx：.作MNl于 N，交双曲线右支于P，连 FP，则122PFe PNPNPNPF.此时PM1375225PFPMPNMN为最小 . 在127922yx中，令3y，得2122 3.xxx0，取2 3x. 所求 P点的坐标为2 33（， ）. （2）渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定
3、了双曲线的范围. 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例 3】过点（ 1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是【解析 】设所求双曲线为2214xyk点（1，3）代入：135944k. 代入（ 1） ：22223541443535xyxy即为所求 . 【评注 】在双曲线22221xyab中，令222200 xyxyabab即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222xykab，而无须考虑其实、虚轴的位置. XYOF(6,0)M(5,3)PNPNX=32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 2 - - 2 - （3）共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄将双曲线22221xyab的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221xyba. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用. 【例 4】两共轭双曲线的离心率分别为21,ee，证明：221211ee=1. 【证明 】双曲线22221xyab的离心率22221122ccabeeaa
5、a；双曲线22221xyba的离心率22222222ccabeebbb. 2222222212111abeeabab. （4）等轴双曲线和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴. 【例 5】设 CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明 】如图设等轴双曲线方程为2221xya，直线 CD ：y=m.代入（ 1） ：22xxm. 故有：2222,CxmmDxmm. 取双曲线右顶点,0B a. 那么：2222,BCxma mBDxma m22220,BC BDaammBCBD. 即 CBD=90 . 同理可证：
6、 CAD=90 . 通法 特法 妙法（1）方程法为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式. 【例 6】如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）5（C）25（D）31XOYCDAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 习题精
7、选精讲- 3 - - 3 - 【解析 1】设 AB交 x 轴于 M ，并设双曲线半焦距为c，ABF2是等边三角形，3,.22cOMMAc点3,22cAc代入双曲线方程：2222222222222233444cbaca bccaa caca.化简得：422442284084042 331ca caeeee. （e1，242 3e及31e舍去）故选D. 【解析 2】连 AF1，则 AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为 2c. 令1122,.AFrAFr由直角三角形性质知：211221 221222rrarcracrcrr. 222222222124,24220220rrcacccaacce
8、e. e1，取31e.选 D. 【评注 】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段. （2）转换法为解题化归立意【例 7】直线l过双曲线12222byax的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A.e2B.1e3C.1e5【分析 】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧 .其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握. 其二，因为已知直线的斜率为 2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交 .故有如下妙解 . 【解析 】如图设直线l的
9、倾斜角为 ，双曲线渐近线m的倾斜角为 . 显然。当 时直线l与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tantan245bcaeaa. 双曲线中1e，故取 e5.选 D.（3）几何法使数形结合带上灵性【例8】设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12|:| 3: 2PFPF，则12PF F的面积为XYOFl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 4 - - 4 - （）
10、A6 3B12C.12 3D24【 解 析 】 双 曲 线 的 实 、 虚 半 轴 和 半 焦 距 分 别 是 ：1 ,23 ,1 3abc. 设；12123 ,2 .22,2.PFr PFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFF F，故知 PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.121211641222PF FSPFPF. 选 B. 【评注 】解题中发现 PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处. （4）设而不求与借舟弃舟同理减少解析几
11、何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例：【例 9】双曲线122yx的一弦中点为（ 2，1） ，则此弦所在的直线方程为（）A. 12xy B. 22xy C. 32xy D. 32xy【解析 】设弦的两端分别为1,12,2,A x yB x y. 则有：222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy. 弦中点为（ 2，1） ，121242xxyy. 故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为：12223yxyx，故选 C. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不
12、必真地去求它. 但是， “设而不求”的手段应当慎用. 不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子. 请看：【例 10】在双曲线1222yx上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1） ，B（x2，y2）. 那么：22111212121222221112011212xyxxxxyyyyxy. M （1，1）为弦 AB的中点，XYOF1F2P2r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
13、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 5 - - 5 - 1212121212122022ABxxyyxxyykyyxx代入 1 ：2，故存在符合条件的直线AB，其方程为：12121yxyx，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M （1，1）代入方程1222yx，发现左式 =1-11221，故点 M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率2ABk，而双曲线的渐近线为2yx.这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视
14、了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证. 由222221221224302221yxxxxxyx这里16240，故方程（ 2）无实根，也就是所求直线不合条件. 此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12xx时才可能求出k=2.若12120 xxy，必有 y.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件. 结论；不存在符合题设条件的直线. （5）设参消参换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量. 要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参 . 【例 11】如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴
15、于点Q，点 P是l上的一点，已知1|FQPQ，且线段 PF 的中点M在双曲线C的左支上 . （）求双曲线C的标准方程；（）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设FAFB，当), 6时，求直线m的斜率k的取值范围 . 【分析】第（）问中，线段PF 的中点 M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点 M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（）中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括都是辅助变量 . 斜率k的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择. 【解析】（）设所求双曲线为：22221
16、xyab. 其左焦点为F（-c 。0） ；左准线：2axc. 由| 1PQ，得 P（2ac，1） ；由222| 111. 1abFQcbcccFP 的中点为221,2caMc. 代入双曲线方程：222221144cac ac2222224caa cc a2222422caa cba cAyxOMFPQBml名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 6 - - 6 - 根据（ 1）与（ 2）222,12aca
17、bcc.所求双曲线方程为222xy. （）设直线m的参数方程为：2cossinxtyt.代入222xy得：22cossin2cos24 cos203tttt当22cos2016cos8 2cos180时，方程（3）总有相异二实根，设为1212124coscos2.42cos2tttttt，那么. 已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，FBFA与同向，210tFBtFA故，.于是：222122121121 21 212ttttttttt tt t.注意到1在),6上是增函数，2212121 21 214926566ttttt tt t（4）代入（ 5） ：22224 c o s264
18、 94 8 c o s4 92c o s15 0 c o s4 9c o s 2c o s 22250111sectan494977kk或双曲线222xy的渐近线斜率为1，故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须11k，. 综合得直线m的斜率k的取值范围是111177k，.双曲线1 已知中心在原点，顶点 A1、A2在 x 轴上， 离心率 e=321的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线 l 经过 A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使 G 平分线段 MN ，证明你的结论解(1)如图，设双曲线方程为2222byax=1由已知得321, 166222
19、22222abaeba,解得 a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为12922yx=1(2)P、A1、A2的坐标依次为 (6,6)、(3，0)、(3，0） ，其重心G 的坐标为 (2，2）假设存在直线l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N(x2,y2)则有22121112221212224129108124,493129108xxxyyyyyxxxy， kl=34l 的方程为A1A2MNGPoyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7
20、页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 7 - - 7 - y=34(x2)+2,由)2(3410891222xyyx,消去 y,整理得 x24x+28=0=164280,所求直线 l 不存在2已知双曲线1222yx,问过点 A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线l存在，并设),(21xxP、),(22yxQ则)2(12) 1(1222222121yxyx（1）)2(得)(2121xxxx)3()(212121yyyy因为 A（1，1）为线段 PQ 的中点，所以)
21、5(2)4(22121yyxx将(4)、(5)代入（ 3）得)(212121yyxx若21xx，则直线l的斜率22121xxyyk所以符合题设条件的直线l存在。其方程为012yx剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、 （5）两式可推出 (6)式，但由 (6)式不能推出 (4)(5) 两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由121222yxxy得03422xx根据08,说明所求直线不存在。3 已知点 N（1，2） ，过点 N 的直线交双曲线1222yx于 A、B 两点，且)(21OBOAON（1）求直线AB 的方程；（2）若过 N的直线 l 交
22、双曲线于C、D 两点，且0ABCD，那么 A、B、C、D 四点是否共圆？为什么？解： （1）设直线 AB：2)1(xky代入1222yx得02)2()2(2)2(222kxkkxk（）令 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1、x2是方程的两根022k且2212)2(2kkkxx)(21OBOAONN 是 AB 的中点1221xx2)2(2kkkk = 1 AB 方程为： y = x + 1 （2）将 k = 1 代入方程（）得0322xx1x或3x由1xy得01y，42y)0, 1(A，)4,3(B0ABCDCD 垂直平分 ABCD 所在直线方程为2)1(xy即xy3代 入 双 曲 线 方 程 整 理 得01162xx令),(33yxC，),(44yxD及 CD中 点),(00yxM则643xx，1143xx，32430 xxx，60y|CD| =104，102|21|CDMDMC102|MBMA，即 A、B、C、D 到 M 距离相等A、B、C、D 四点共圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -