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1、有理数知识点小结1、正数和负数的有关概念（1）正数：比0 大的数叫做正数；负数：比0 小的数叫做负数； 0 既不是正数，也不是负数。（2）正数和负数表示相反意义的量。2、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：0正整数整数负整数有理数正分数分数负分数0正整数正数正分数有理数负整数负数负分数0 属于有理数。3、有关数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。（在有些题目中会把三个要素中去掉一个或者两个，让学生来判断是否是数轴。）（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数（如 ） 。（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的
2、点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。 （有理数比较大小中经常出现）数轴经常和绝对值一起出题，特别是判断绝对值里面的符号。对此，我们一般用赋值法，就是数轴上的字母，根据实际情况给他赋一个具体的数，这样学生在解题时会感觉容易很多。4、绝对值与相反数和倒数（ 1）绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值，记作：a。一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值是0. (0)0(0)(0)a aaaa a（ 2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。相反数的特征：若 a、 b 互为相反数，则a+b=0；相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，
3、负数的相反数是正数。（ 3）倒数：互为倒数的两个数的乘积为1. 若 a、b 互为倒数，则a b=1；正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0 没有倒数。（ 4）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。任何数的绝对值是非负数。绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题，在这里要特别有整体意思。（互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1. 要有整体代换的思想。 ）本身之迷倒数是它本身的数是1 绝对值是它本身的数是非负数 （正数和 0）平方等于它本身的数是0，1 立方等于经本身的数是1，0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 偶数次幂等于本身的数是0、1 奇数次幂等于本身的数是1，0 相反数是它本身的数是0 数之最最小的正整数是1 最大的负整数是-1 绝对值最小的数是0 平方最小的数是0 最小的非负数是0 最大的非正数0 没有最大和最小的有理数没有最大的正数和最小的负数5、有理数加法（ 1）符号相同的两数相加：和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和（ 2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于
5、加数中较大的绝对值减去较小的绝对值；当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零（ 3）一个数同零相加，仍得这个数加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 6、有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。7、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。例如： 14+12+（-25 ）+（ -17）可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17 ，可以读作“正14 加 12 减 25 减 17”，也可以读作“正14、正 12、负 25、负 17 的和 . ”8、有理数的乘法两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数
6、与0 相乘都得 0。第一步：确定积的符号第二步：绝对值相乘交换律：结合律：分配律：9、有理数的除法除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数；0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0。10、积的符号的确定几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘, 有一个因数为零, 积就为零。11、有理数的乘方（ 1）求相同因数的积的运算叫做乘方. 乘方运算的结果叫幂. 一般地， a aa.aa 记作na，读作： a 的 n 次方，表示n 个 a 相乘；其中，a 是底数， n 是指数，na称为幂。abba()()abc
7、abc()abcabac名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - （ 2）na表示：n个a相乘。a叫做底数，n叫做指数，计算的结果叫做：幂当a为正数时，n为任何数，计算结果都是正数当a为负数，n是奇数时，结果是负数；n是偶数是，结果是正数当底数a是负数或分数时，必须把底数加上括号注意：2)3(的底数是，指数是，结果是；33的底数是，指数是，结果是。计算：2)2(2)2(23322（ 3）正数的任何次幂都是正数. 负数的奇数
8、次幂是负数, 负数的偶数次幂是正数. （ 4）一个数的平方为它本身, 这个数是 0 和 1；一个数的立方为它本身, 这个数是 0、1 和-1。12、科学计数法一般情况下，把大于10 的数表示成10na（n 为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了 a 的范围，(1 a10) ，这种记数方法叫做科学记数法。13、有理数混合运算有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的。14、比较两个有理数大小的方法有：（ 1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；（ 2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；（ 3
9、） 做差法： a-b0 ? ab; （ 4） 做商法： a/b1 ， b0 ? ab. （ 5）利用绝对值比较大小两个正数比较：绝对值大的那个数大；两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。典例分析：出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：15， 3， 14， 11， 10， 12， 4， 15， 16， 18. （1）将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是多少千米？（2）若汽车耗油量为a 升/ 千米，这天下午汽车耗油共多少升？分析： （1）求已知 10 个数的和，即得小石距下午出发
10、地点的距离；（2）要求耗油量，需求出汽车一共走的路程，与所行的方向无关，即求出10 个数的绝对值的和，然后乘以a 升即可。注意两问的区别。解：(1) （ 15）（ 3）（ 14）（ 11）（ 10）（ 12）（ 4）（名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 15）（ 16）（ 18） =（151410416）【（3）（ 11）（ 12）（ 15）（ 18） 】 =59（ 59） =0（千米）（2）181615412101
11、114315 =118（千米） 118a=118a( 升 ) 答： （1）将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是0 千米，即回到出发地点；（2）若汽车耗油量为a 升/ 千米，这天下午汽车耗油共118a 升。典例分析：在有关乘方的计算中，最易出现错误的是“符号问题”，解决问题的关键是准确理解幂的概念，头脑时刻保持清醒，不要随意的增减和变换符号，更不要“跳步”，严格按照运算法则进行。解：2)2(2)2(233226101628844典例分析：1、用科学记数法表示56420000 万 .分析： 需要注意以下两点：在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视；科学记数法有其表示的标准形式：n
12、a10，其中101a，n 为正整数。解：56420000 万 =564200000000=1110642.5典例分析：（1）与原点距离等于4 的点有几个？其表示的数是什么？（2）在数轴上点A表示的数是 -3 ，与点 A相距两个单位的点表示的数是什么？分析： 对于初学者，我们可以画出数轴，从数轴上观察，与原点距离等于4 的点有两个，它们分别位于原点的两侧，它们所表示的数是+4 和-4. 千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第（2）问迎刃而解。解： （1）与原点距离等于4 的点有两个，它们表示的数是+4 和-4. （2）在数轴上点A表示的数是 -3 ，与点 A相距两个单位的点表示的数是-
13、1 和-5. 3、- （-3 ）的相反数是 _。 （解析：先化简-（-3 ） ，再去求出计算结果的相反数）典例分析：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 已知022yx，求 x,y 的值。分析 ：此题考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即0a。所以02, 02yx，而两个非负数之和为0，则这两个数均为0，所以可求出x,y 的值。解：02,02yx又022yx02, 02yx，即02,02yx2,
14、2 yx典例分析：如果规定表示一种运算，且ab=2abab，求： 3（ 412）的值 . 典例分析：以下命题正确的是（） （A）如果那么 a、b 都为零（B）如果 , 那么 a、b 不都为零（C）如果，那么 a、b 都为零（D）如果，那么 a、b 均不为零典例分析：若23(2)0mn，则2mn的值为（）A4B 1C0 D4 典例分析：若用 A、B、C、D分别表示有理数a、b、c,0 为原点如图2-6-1 所示 . 已知 ac0. （6分） (1)化简acbaca; （2）abcbac (2)化简 2c+ a+b+c-b - c-a . CBAO这要看根号下的那个数是不是完全平方数 ，即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数，开根号后就是有理数；反之，是无理数 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -