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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题函数相像三角形问题精选解析 三 例 5 如图 1,抛物线经过点A4 ,0 、B（1,0 、C（0, 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点,过 P作 PMx 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A、P、M为顶点的三角形与OAC相像？如存在,恳求出符合条件的 点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）在直线 AC上方的抛物线是有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标,图 1 解析y（ 1 ）由于抛物线与x 轴交于A4 , 0 、 B（ 1, 0 两点,设抛物线的解析
2、式为a x1 x4,代入点C 的 坐标（ 0, 2）,解得a1所以抛物线的解析式为2y1x1 x4 1 2x215 2x24 2（2）设点 P 的坐标为x,x1 x2如图 2,当点 P在 x 轴上方时, 1x4,PM1x1 x4 ,AM4x2假如AMAO2,那么1x1 x42解得x5不合题意2PMCO4x假如AMAO1,那么1x1 x4 1解得x22PMCO24x2此时点 P 的坐标为（ 2,1）如图 3,当点 P在点 A的右侧时, x4,PM1x1 x4 ,AMx42解方程1x1 x4 2,得x5此时点 P的坐标为,522x4解方程1x1 x4 1,得x2不合题意2x421 名师归纳总结 -
3、 - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x4 ,AM4x如图 4,当点 P在点 B的左侧时, x1,PM1x1 2解方程1x1 x4 2,得x3此时点 P 的坐标为3 ,1424x解方程1x1 x4 1,得x0此时点 P 与点 O重合,不合题意24x2综上所述,符合条件的点 P 的坐标为（ 2,1）或,314或5 ,2 图 2 图 3 图 4 标为（3）如图 5,过点 D作 x 轴的垂线交AC于 E直线 AC的解析式为y1 x 22设点 D的横坐标为m 1m4,那么点 D的坐标为m ,1m25m2 ,点 E 的坐22 m
4、 ,1 2m2 所以DE1 2m25 2m2 1m2 21m22 m2211因此S DACm22 m 4m24mm2422当m2时,DCA的面积最大,此时点D的坐标为（ 2,1）图 5 图 6 考点舒展第（ 3）题也可以这样解：如图 6,过 D点构造矩形OAMN,那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和 ADM的面积2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料4 ,那么欢迎下载设点 D的横坐标为（ m,n）1m由于nS21 2 n2 41 2m n2 1n 4m m2 n4221 2m5 2m2Sm
5、24m,所以例 6 如图 1, ABC中, AB5,AC3,cosA3 10D为射线 BA上的点（点D不与点 B 重合）,作 DE/ BC交射线 CA于点 E. 1 如 CE x,BD y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出函数的定义域；2 当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度；3 当点 D在 AB边上时, BC边上是否存在点 出线段 BF的长；如不存在,请说明理由F,使 ABC与 DEF相像？如存在, 恳求图 1 备用图备用图解析（1）如图 2,作 BHAC,垂足为点H在 Rt ABH中, AB5,cosAAH3,所AB10以 AH3 21 2AC所以 BH垂直平分 AC
6、, ABC 为等腰三角形,ABCB5由于 DE/ BC,所以AB DBAC,即5 y3于是得到y5x ,（x0）EC3| 3x ,x（2）如图 3,图 4,由于 DE/ BC,所以DE BCAE,MN BCAN,即DEACAC53MN|31x|因此DE5 |3x|,圆心距MN5 |6x|25336图 2 图 3 图 4 在 M中,Mr1BD1y5x,在 N中,Nr1CE1x 226223 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载10x315；当两圆外切时,5x1x5 |6x 解得x30或者x62613如图
7、 5,符合题意的解为xx30,此时DE533x151313DE5当两圆内切时,5x15 |6 6x 62当 x6 时,解得x30,如图 6,此时 E 在 CA的延长线上,737当 x6 时,解得x10,如图 7,此时 E 在 CA的延长线上,DE5x33533图 5 图 6 图 7 （3）由于 ABC是等腰三角形, 因此当ABC与 DEF相像时, DEF也是等腰三角形如图 8,当 D、E、F 为 ABC的三边的中点时,DE为等腰三角形DEF的腰,符合题意,此时 BF2.5 依据对称性,当F 在 BC边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF4.1 如图 9,当 DE为等腰三角形DEF的底边时,四边
8、形 DECF是平行四边形, 此时BF12534图 8 图 9 图 10 图 11 考点舒展第（3）题的情形是一道典型题,如图10,如图 11,AH是 ABC的高, D、E、F为 ABC的三边的中点,那么四边形 DEHF是等腰梯形例 7 如图 1,在直角坐标系 xOy中,设点 A（0,t ）,点 Q（t ,b）平移二次函数 y tx 2 的 图象,得到的抛物线 F满意两个条件： 顶点为 Q；与 x 轴相交于 B、C两点（ OB OC ）,连结 A, B（1）是否存在这样的抛物线F,使得OA2OBOC？请你作出判定, 并说明理由；（2）假如 AQ BC,且 tan ABO3 ,求抛物线 2F 对应
9、的二次函数的解析式4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 1 解析2（1）由于平移 y tx 的图象得到的抛物线 F 的顶点为 Q （ t ,b）,所以抛物线 F 对应的解析式为 y t x t 2 b由于抛物线与 x 轴有两个交点,因此 t b 0令 y 0,得 OB t b ,OC t b t t所 以 | OB | | OC | | t b t b | | t 2 b| t 2OA 2 即t t tt 2 b t 2所以当 b 2t 3时,存在抛物线 F 使得 | OA | 2| OB |
10、 | OC |t（ 2 ） 因 为 AQ/ BC, 所 以 t b, 于 是 抛 物 线 F 为 y t x t 2 t 解 得x 1 t ,1 x 2 t 1当 t 0 时,由 | OB | | OC |,得 B t ,1 0 如图 2,当 t 1 0 时,由 tan ABO 3 | OA | t,解得 t 3此时二次函数2 | OB | t 1的解析式为 y 3 x 2 18 x 24如图 3,当 t 1 0 时,由 tan ABO 3 | OA | t,解得 t 3 此时二次2 | OB | t 1 5函数的解析式为 y 3 x 2 18 x 48 5 25 1255 名师归纳总结 -
11、- - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习好资料欢迎下载图 3 如图 4,如图 5,当t0时,由|OB|OC|,将2t 代 t , 可得 t3 5,t3此时二次函数的解析式为y32 x 18 x 2548 或 125y3 x18x245图 4 图 5 考点舒展第（ 2）题仍可以这样分类争论：得由于 AQ/ BC,所以 t b,于是抛物线F 为ytt xt2t 由tanABOOA3,OB2OB2OA32B t ,03代入yt xt2t ,得t3（如图 2,图 5）把把B 2t,0代入yt xt2t ,得3 5（如图 3,图 4）36 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页