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1、一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？当时，当时， ； 240bac当时，当时， ； 042 acb当时，当时， ； 042 acb没有实数根没有实数根有两个相等的实数根有两个相等的实数根有两个有两个不不相等的实数根相等的实数根2.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？ax2+bx+c=0(a0)复习回顾，导入新课3.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？ x =aacbb242(b2-4ac 0)（1）x2-7x+12=0(2) x2+3x-4=0(3) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填
2、空：方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-2复习回顾，导入新课2123-一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2= ab-ac（韦达定理）新知探究( ( b b2 24 4ac c0 0 ) )韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之
3、间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 aacbbx2421aacbbx2422x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-x1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb= 244aac=ac一元二次方程根与系数关系的证明如果方程x2+px+q=0的两根是x1 、x2，新知探究( ( p、q为常数为常数,b b2 24 4ac c0 0 ) )-p那么 x1+x2= , x1x2=q不解方程不解方程说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2 - 2x - 1=02、2x2
4、- 3x + =03、2x2 - 6x =04、3x2 = 421x1+x2=0 x1x2=0练一练2321xx4121xx34-21xxx1+x2=2x1x2= -1x1+x2=32.2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。数是不是它的两个根。( (口答口答) )（1 1）x x2 2-6x-7=0-6x-7=0（-1-1，7 7）（2 2）3x3x2 2+5x-2=0+5x-2=0（ ， ）（3 3）2x2x2 2-3x+1=0-3x+1=0（3 3，1 1）（4 4）x x2 2-4x+1=0-4x+1=0（-2+
5、-2+ ，-2- -2- ）练一练333532-例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求：(1) (2) x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2= -332(1)2111xx= 2121xxxx=3-32-=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )232 -2(-3)694例题讲解例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得
6、2x13k 即 2x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。例题讲解例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1由根与系数的关系，得x1 2= k+12x1 = 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。例题讲解1、一元二次方程根与系数的关系2、利用此关系解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a0（2）根的判别式b2-4ac0小 结1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+44k1=0 , k2=4经检验， k=4时，0；k=0时，0 k=0拓展提升2.2.方程方程x x2 2 (m(m 1)x1)x 2m2m 1 1 0 0，求，求mm满足什么条件时满足什么条件时, ,方程的两根互为相反数？方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？方程的一根为零？拓展提升