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1、第一章 三角函数一、任意角1广义角 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角角 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角的 第一象限角|k36090+k360，kZ分 象限角 第二象限角|90+k360180+k360，kZ类 第三象限角|180+k360270+k360，kZ 按终边的位置分 第四象限角|270+k360360+k360，kZ 或|90+k360k360，kZ 轴上角（象间角）：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限2终边相同角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=
2、+ k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和3几种特殊位置的角：（1）终边在x轴上的非负半轴上的角：= k360，kZ；（2）终边在x轴上的非正半轴上的角：=180+ k360，kZ；（3）终边在x轴上的角：= k180，kZ；（4）终边在y轴上的角：=90+ k180，kZ；（5）终边在坐标轴上的角：= k90，kZ；（6）终边在y=x上的角：=45+ k180， kZ；（7）终边在y=x上的角：= 45+ k180， kZ或=135+ k180， kZ；（8）终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：= k45，kZ例1 已知为锐角，那么2是（）A小于180的正角 B
3、第一象限的角 C第二象限的角 D第一或第二象限的角答案：A解析：为锐角，090，02180，故选A例2 射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，则AOC（）A150 B150 C390 D390答案：B 解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，120（270）150例3 如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（）A|45120 B|120315C|k36045k360120，kZ D|k360120k360315，kZ答案：C解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是k36045k360120，kZ，故选C二、弧度制1弧度：在圆中，把长度等于半
4、径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示2一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是03如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是相关公式：（1）；（2）4角度制与弧度制的换算：（1）rad；（2）1rad例1 扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（）弧度A B C D答案：C解析：圆心角所对的弦长等于半径，该圆心角所在的三角形为正三角形，圆心角是弧度例2 在直角坐标系中，若角与角终边关于原点对称，则必有（）A B2k（kZ） C D2k（kZ）答案：D解析：将旋转的奇数倍得例3 在半径为3cm的圆中，60的圆心角所对的弧
5、的长度为（）Acm Bcm Ccm Dcm答案：B解析：由弧长公式得，l|r3（cm）三、三角函数定义1单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆2利用单位圆定义任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：（1）y叫做的正弦，记作sin，即sin=y；（2）x叫做的余弦，记作cos，即cos=x；（3）叫做的正切，记作tan，即tan=（x0）3同角三角函数的基本关系 平方关系： ；商的关系：当k+（kZ）时，例1 已知角的终边经过点（4，3），则cos（）A B CD答案：D解析：由条件知：x4，y3，则r5，cos例2若sin
6、cos0，则在（）A第一、二象限 B第一、三象限 C第一、四象限 D第二、四象限答案：D解析：sincos0，sin，cos异号当sin0，cos0时，在第二象限；当sin0，cos0时，在第四象限例3已知角的终边经过点P（b，4），且sin，则b等于（）A3 B3 C3 D5答案：C 解析：r|OP|，sin，b3四、三角函数的诱导公式公式一 公式二 公式三 公式四 公式一到四可以概括如下： ，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号公式五 公式六 公式五、六可以概括如下：的正弦（余弦）函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号（
7、奇变偶不变，符号看象限） 例1 sin600（）A B C D答案：C解析：sin600sin（360240）sin240sin（18060）sin60例2 已知角的终边过点（4，3），则cos（）（）A B C D答案：B解析：由题意，知cos，cos（）cos例3 下列各三角函数值：sin1125；tansin；sin1cos1其中为负值的个数是（）A1 B2个 C3个 D4个答案：B解析：1125108045，则1125是第一象限的角，所以sin11250；因2，则是第三象限角，所以tan0，sin0，故tansin0；因3弧度的角在第二象限，则sin30tan30，故0；因1，则sin
8、1cos10为负数因此选B五、三角函数的图像与性质正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx定义域RR值 域1，11，1R零 点周期性T=2T=2T=奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间减区间对称性对称轴对称中心图像注意：周期为2；周期为；周期为2；不是周期函数例1函数ysin（x）的一条对称轴可以是直线（）Ax Bx Cx Dx答案：B解析：解法一：令xk，kZ，xk，kZ当k1时，x，故选B解法二：当x时，ysin（）sin1，x是函数ysin（x）的一条对称轴例2 函数ysin2x的单调减区间是（）A（kZ）B（kZ）C2k，32k（kZ）D（kZ）答案：B解析：由2k
9、2x2k，kZ得ysin2x的单调减区间是k，k（kZ）例3 已知函数y1sinx，x0，2，则该函数图象与直线y交点的个数是（）A0 B1 C2 D3答案：C 解析：分别作出函数y1sinx，x0，2与直线y的图象，如下图所示：由图可知，函数y1sinx，x0，2与直线y有两个交点，故选C例4 已知函数f（x）（1）求f（x）的定义域、值域和单调区间；（2）判断f（x）的奇偶性解：（1）要使函数有意义，须sin2x0，2k2x2k，kxk（kZ），f（x）定义域为，kZ0sin2x1，0sin2x，1，即值域为1，）令ysin2x，则函数ysin2x的增区间即为函数f（x）的减区间，函数ys
10、in2x的减区间即为函数f（x）的增区间函数f（x）的单调递减区间为 （kZ），单调递增区间为 （kZ）（2）定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数六、函数1得到函数图像的方法：2函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，例1 函数y5sin的最小正周期是（）A B C5 D答案：C解析：T5例2 曲线ysin（2x）的一条对称轴是（）A Bx Cx Dx答案：D例3 函数ysin在区间0，内的一个单调递减区间是（）A B C D答案：B解析：由2k2x2k（kZ）得kxk（kZ），选B例4 已知函数f（x）2sin（x）的图象如图所示，则_答案：0解析：由图象知，T，0，例5 已知函数yAsin（x）（A0，0，|）的图象的一个最高点为（2，2），由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求这个函数的解析式解：已知函数最高点为 （2，2），A2又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x轴相交于点（6，0），而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为个周期长度，624，即T16y2sin（x）将点（6，0）的坐标代入，有2sin（6）0，sin（）0，又|，函数的解析式为y2sin（x）