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1、三 直线的参数方程教学目的：驾驭直线的参数方程，理解参数t的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。 教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关间隔 问题；参数方法与一般方法之甄别。直线的参数方程经过点M0(x0, y0)，倾斜角为a的直线l的一般方程为y-y0=tan(x-x0) 怎样建立直线l的参数方程呢？如图，在直线l上任取一点M(x, y)，则 直线的方向向量，；，所以存在实数，使得，即于是，即，因此，经过定点M0(x0, y0)，倾斜角为的直线的参数方程为 （t为参数） 问题：由，直线参数方程中的参数t有什么几何意义？因为，所以，
2、由，所以，因此|t|即为直线上的动点M(x,y)到定点M0(x0, y0)的间隔 ；当00，直线的单位方向向量总是向上的，因此有结论：t0：则的方向向上，即M0在M的上方；t0时. 其中的t才具有上述几何意义。例1.已知直线l: x+y-1=0与抛物线y=x2交于A, B两点，求线段AB的长度和点M(-1, 2)到A, B两点的间隔 之积解法一：由，得设，,由韦达定理得：由（*）解得，所以则解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是 （为参数）， 即 （为参数）把它代入抛物线的方程，得，解得，由参数的几何意义得：，探究：直线 （t为参数）与曲线y=f(x)交于M1, M2两点，
3、对应的参数分别为t1, t2（1）曲线的弦M1M2的长是多少？（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？例2、经过点M(2, 1)作直线l，交椭圆于A,B两点假如点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程解：设过点M(2, 1)的直线l的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，整理得 因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1, t2，则因为点M为线段AB的中点，所以，即于是直线l的斜率因此，直线的方程是，即例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向挪动. 已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的
4、范围，那么经过多长时间后该城市开场受到台风侵袭海滨城市O受台风侵袭也许持续多长时间？假如台风侵袭的半径也发生改变（比方：当前半径为250km，并以10km/m的速度不断增大），那么问题又该如何解决？例4 如图所示，AB，CD是中心为O的 的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为1，2. 求证：|PA| |PB|PC| |PD|.例题选：一、求直线上点的坐标例1 已知过点P(2,0)，斜率为4/3的直线和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标解：设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为，由已知可得：，所以，直线的参数方程为（t为参数）代入y2
5、=2x，整理得中点M的相应参数是，所以点M的坐标是例2 求点A（1，2）关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A 的坐标。解：由条件，设直线AA 的参数方程为 (t是参数)，A到直线l的间隔 d = ， t = AA = ，代入直线的参数方程得A ( ，)二、求解中点问题例1 已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并留意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0si
6、n)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的间隔 例1 直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x +y 2 =0 交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y 2 =0得 t =， PQ = | t| = 。例2 经过点P(1，2)，倾斜角为/4 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA PB的值。解：直线l的方程可写成，
7、代入圆的方程整理得：t2 +t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = =，PA PB =| t1 t2 | = 4。四、求直线与曲线相交弦的长例1 已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=。分析：弦长AB = |t1 t2|。解：由条件可设AB的方程为，代入抛物线方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韦达定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2 求经过点（1，1）。倾斜角为1
8、350的直线截椭圆所得的弦长。解：由条件可知直线的参数方程是：（t为参数）代入椭圆方程可得： 即设方程的两实根分别为。则则直线截椭圆的弦长是 例3 已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l的参数方程为(t为参数).当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？例4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：设椭圆方程为，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，则，22+得： ，将b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得，。